sinx 的平方也就是 sin²x，它的导数等于 2sinx cosx，还可以利用二倍角公式化简成 sin2x，这道题属于典型复合函数求导，必须使用链式法则，很多同学容易犯的错误就是直接对 sinx 求导，忘记外层平方这个结构，只算出 cosx，漏掉外层导数。这个函数是两层嵌套，最外层是 u 的平方，内层 u 等于 sinx，复合函数求导规则就是外层函数对中间变量求导，再乘以内层函数对 x 求导，两层导数相乘才能得到最终结果。理解的时候要区分 sinx 的平方和 sin (x 的平方)，这两个是完全不同的函数，求导结果差别很大，考试经常在这里设置陷阱，一定要看清括号位置。掌握链式法则之后，后续类似 cos 平方 tan 平方这类题型都可以套用相同思路，同时还可以搭配降幂公式，换一种方法验证答案，加深对这个知识点的理解。

链式法则完整推导

设 y = sin²x

令中间变量 u = sinx

那么 y = u²

外层导数 dy/du = 2u

内层导数 du/dx = cosx

根据链式法则 dy/dx = dy/du 乘以 du/dx

代入 u = sinx

dy/dx = 2sinx 乘以 cosx

再根据二倍角公式 2sinx cosx = sin2x

最终导数 dy/dx = sin2x

两种解法对照表

降幂公式验证解法

sin²x = (1 减 cos2x)/2

对这个式子求导

常数 1/2 导数是 0

负 cos2x 除以 2 求导，继续链式求导

导数等于负 1/2 乘以 (负 sin2x) 乘以 2

化简之后得到 sin2x

和链式法则计算结果保持一致，可以用来验算答案

易错点区分

1 sin²x 是 sinx 整体平方，也就是 (sinx)²，本题求导对象

2 sin (x²) 是 x 先平方，再取正弦，导数是 cos (x²) 乘以 2x，不要混淆

3 不要漏掉内层 sinx 的导数 cosx，只写 2sinx 属于错误

实操解题步骤

1 识别函数是复合结构，确认外层是平方，内层是 sinx

2 写出中间变量，分别求出外层导数和内层导数

3 两层导数相乘，得到 2sinx cosx

4 可选步骤，使用二倍角公式化简成 sin2x

5 检查是否和 sin (x 平方) 区分开，确认没有漏乘内层导数

【常见问题】

问题 1 sinx 的平方的导数怎样求，为什么不能直接等于 cosx

回答 1 sinx 的平方的导数怎样求，因为它是复合函数，不是单纯的 sinx，外层还有平方运算，只用 sinx 的导数 cosx，漏掉外层 u 平方的导数 2u，所以结果错误，必须链式法则两层相乘。

问题 2 sinx 的平方的导数怎样求，2sinx cosx 还能不能继续化简

回答 1 sinx 的平方的导数怎样求，得到的 2sinx cosx 可以利用正弦二倍角公式，直接化简成 sin2x，两种写法都正确，答题推荐写化简后的 sin2x。

问题 3 sinx 的平方的导数怎样求，和 sin (x 平方) 求导结果一样吗

回答 3 sinx 的平方的导数怎样求，它的结果是 sin2x，sin (x 平方) 是另一个复合函数，导数是 2x cos (x²)，二者函数结构不一样，求导结果完全不同，做题一定要分辨清楚。

【免责申明】

本内容仅用于高中数学复合函数求导学习参考，推导基于链式法则和三角二倍角公式，若函数增加系数或者平移变形，需要重新套用链式法则计算，本内容不覆盖拓展综合题型，计算结果请自行核验。