【复数四则运算公式】在数学中，复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数在代数、物理、工程等领域有着广泛的应用。本文将对复数的加法、减法、乘法和除法四种基本运算进行总结，并以表格形式展示其运算公式。
一、复数的基本概念
一个复数一般表示为：
$$
z = a + bi
$$
其中：
- $ a $ 为实部（Real Part）
- $ b $ 为虚部（Imaginary Part）
- $ i = \sqrt{-1} $
二、复数的四则运算公式
以下为复数的加法、减法、乘法和除法的运算规则：
| 运算类型 | 公式表达 | 说明 |
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | 实部与实部相加，虚部与虚部相加 |
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | 实部与实部相减，虚部与虚部相减 |
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | 使用分配律展开后合并同类项 |
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $ | 分母有理化，乘以共轭复数后化简 |
三、示例说明
示例1：加法
$ (3 + 2i) + (4 + 5i) = (3+4) + (2+5)i = 7 + 7i $
示例2：减法
$ (6 - 3i) - (2 + 4i) = (6-2) + (-3-4)i = 4 - 7i $
示例3：乘法
$ (1 + 2i)(3 + 4i) = 1×3 + 1×4i + 2i×3 + 2i×4i = 3 + 4i + 6i + 8i^2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i $
示例4：除法
$ \frac{2 + 3i}{1 + i} = \frac{(2 + 3i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{(2 - 2i + 3i - 3i^2)}{1 + 1} = \frac{(2 + i + 3)}{2} = \frac{5 + i}{2} = 2.5 + 0.5i $
四、总结
复数的四则运算遵循一定的代数规则，通过合理地组合实部与虚部，可以实现对复数的加减乘除运算。掌握这些基本运算公式不仅有助于理解复数的本质，也为后续学习复数的极坐标形式、指数形式以及复变函数等知识打下基础。在实际应用中，如电路分析、信号处理等领域，复数运算具有重要的作用。
