【奇变偶不变】“奇变偶不变”是三角函数中一个常见的记忆口诀，用于判断在角度变换（如正弦、余弦、正切等）时，函数的符号和名称是否发生变化。这个口诀虽然简短，但背后蕴含着三角函数的基本规律和对称性。
一、
“奇变偶不变”主要应用于三角函数的诱导公式中，尤其是在将任意角转换为0°到90°之间的锐角时使用。其含义如下：
- “奇变”：当角度变化涉及“奇数倍”的π/2（如π/2、3π/2等）时，函数名称会发生变化，例如sin变为cos，cos变为sin，tan变为cot等。
- “偶不变”：当角度变化涉及“偶数倍”的π/2（如0、π、2π等）时，函数名称保持不变，只改变符号。
此外，“奇变偶不变”还配合另一个口诀“符号看象限”，即根据原角所在的象限来确定最终结果的正负号。
二、表格展示
| 角度变换形式 | 是否奇数倍 π/2 | 函数名是否变化 | 符号判断依据 | 示例 |
| α + π/2 | 是 | 变化 | 象限 | sin(α + π/2) = cosα |
| α + π | 否 | 不变化 | 象限 | sin(α + π) = -sinα |
| α + 3π/2 | 是 | 变化 | 象限 | sin(α + 3π/2) = -cosα |
| α + 2π | 否 | 不变化 | 象限 | sin(α + 2π) = sinα |
| α - π/2 | 是 | 变化 | 象限 | sin(α - π/2) = -cosα |
| α - π | 否 | 不变化 | 象限 | sin(α - π) = -sinα |
三、实际应用举例
1. sin(π/2 + α)
- π/2 是奇数倍 π/2 → 函数名由 sin 变为 cos
- 象限判断：π/2 + α 在第二象限 → 正弦为正
- 所以：sin(π/2 + α) = cosα
2. cos(π - α)
- π 是偶数倍 π/2 → 函数名不变
- 象限判断：π - α 在第二象限 → 余弦为负
- 所以：cos(π - α) = -cosα
3. tan(3π/2 - α)
- 3π/2 是奇数倍 π/2 → 函数名由 tan 变为 cot
- 象限判断：3π/2 - α 在第四象限 → 正切为负
- 所以：tan(3π/2 - α) = -cotα
四、小结
“奇变偶不变”是一个简洁而实用的口诀，帮助我们快速判断三角函数在不同角度下的表达式变化。结合“符号看象限”的原则，可以系统地处理各种角度变换问题，避免复杂的推导过程。掌握这一规律，有助于提升解题效率和对三角函数的理解深度。
