【等差和等比所有公式】在数列的学习中，等差数列和等比数列是最基础也是最重要的两种数列类型。它们在数学、物理、经济等多个领域都有广泛的应用。为了帮助大家更好地掌握这两种数列的性质和相关公式，本文将对等差数列和等比数列的所有基本公式进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、等差数列
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
基本公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 $ 为首项，$ n $ 为项数 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 同上 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 用于计算前n项的总和 |
| 中间项公式（当n为奇数时） | $ a_{\frac{n+1}{2}} = \frac{a_1 + a_n}{2} $ | 等差数列的中间项是首末两项的平均数 |
二、等比数列
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
基本公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比 | ||
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 同上 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 用于计算前n项的总和 | ||
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = n \cdot a_1 $ | 所有项都相等 | ||
| 无穷等比数列和（当 $ | r | < 1 $） | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 适用于无限项且公比绝对值小于1的情况 |
三、等差与等比数列对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 | ||
| 定义 | 每一项与前一项的差为定值 | 每一项与前一项的比为定值 | ||
| 公差 | $ d $ | 无公差，有公比 $ r $ | ||
| 公比 | 无 | $ r $ | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） | ||
| 无穷项和 | 不适用（除非为0） | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（$ | r | < 1 $） |
| 特点 | 数列增长线性 | 数列增长指数型 |
通过以上内容可以看出，等差数列和等比数列虽然都是常见的数列类型，但它们的性质、公式和应用场景各有不同。掌握这些基本公式不仅有助于解决数列问题，还能为后续学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。希望本文能对你的学习有所帮助！
