【复合函数怎么求导】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如 $ y = f(g(x)) $。要对这样的函数进行求导，需要用到“链式法则”（Chain Rule）。本文将总结复合函数求导的基本方法，并通过表格形式展示不同情况下的求导步骤。
一、复合函数求导的基本思路
复合函数的导数可以通过以下步骤进行计算：
1. 识别外层函数和内层函数：
外层函数是整体结构中的“最外层”，而内层函数是被外层函数所包裹的部分。
2. 分别对内外层函数求导：
先对外层函数求导，再对内层函数求导。
3. 使用链式法则相乘：
将外层函数的导数与内层函数的导数相乘，得到最终结果。
二、复合函数求导公式
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
三、常见复合函数类型及求导方法（表格）
| 类型 | 函数表达式 | 外层函数 | 内层函数 | 求导步骤 |
| 基本复合 | $ y = \sin(2x) $ | $ \sin(u) $ | $ u = 2x $ | 1. 对 $ \sin(u) $ 求导得 $ \cos(u) $ 2. 对 $ 2x $ 求导得 $ 2 $ 3. 结果：$ \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) $ |
| 幂函数复合 | $ y = (x^2 + 1)^3 $ | $ u^3 $ | $ u = x^2 + 1 $ | 1. 对 $ u^3 $ 求导得 $ 3u^2 $ 2. 对 $ x^2 + 1 $ 求导得 $ 2x $ 3. 结果：$ 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $ |
| 指数复合 | $ y = e^{x^2} $ | $ e^u $ | $ u = x^2 $ | 1. 对 $ e^u $ 求导得 $ e^u $ 2. 对 $ x^2 $ 求导得 $ 2x $ 3. 结果：$ e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} $ |
| 对数复合 | $ y = \ln(\sqrt{x}) $ | $ \ln(u) $ | $ u = \sqrt{x} $ | 1. 对 $ \ln(u) $ 求导得 $ \frac{1}{u} $ 2. 对 $ \sqrt{x} $ 求导得 $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ 3. 结果：$ \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x} $ |
四、注意事项
- 链式法则适用于任何嵌套层次的复合函数。
- 如果有多个嵌套层次，需逐层应用链式法则。
- 在实际运算中，应先识别出每层函数的结构，避免混淆。
五、总结
复合函数的求导本质上是通过对每一层函数分别求导并相乘的过程。掌握链式法则的关键在于正确识别内外层函数，并熟练应用基本初等函数的导数规则。通过练习不同类型的复合函数，可以更灵活地应对各种求导问题。
如需进一步了解其他类型的函数求导方法（如隐函数、参数方程等），可继续关注后续内容。
