【点到面距离的公式】在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题，广泛应用于数学、物理和工程等领域。点到面的距离公式是通过向量运算和解析几何推导得出的，能够快速准确地求出任意一点到给定平面的最短距离。

一、点到面距离的定义

设有一个平面π，其方程为：

$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$

其中 $ A, B, C $ 是该平面的法向量的分量，$ D $ 是常数项。

再设有一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，要求该点到平面π的最短距离，即为点到平面的垂直距离。

二、点到面距离的公式

点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面的法向量；

- 分母是法向量的模长，用于归一化；

- 分子是点代入平面方程后的绝对值，表示点与平面的“偏离程度”。

三、公式推导思路（简要）

1. 确定法向量：平面的一般式为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $，其法向量为 $ \vec{n} = (A, B, C) $。

2. 构造向量：取平面上任意一点 $ Q(x_1, y_1, z_1) $，则向量 $ \vec{PQ} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1) $。

3. 投影长度：点 $ P $ 到平面的距离等于 $ \vec{PQ} $ 在法向量 $ \vec{n} $ 上的投影长度。

4. 计算公式：利用向量点积公式，最终得到上述距离公式。

四、总结对比表格

五、应用实例

假设平面方程为：$ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $，点 $ P(1, 2, -1) $。

代入公式计算：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(-1) - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 - 6 - 5}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{-15}{\sqrt{49}} = \frac{15}{7}

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{15}{7} $。

六、注意事项

- 公式适用于任何平面和点，无论点是否在平面上；

- 若点在平面上，则距离为0；

- 如果已知平面的法向量和一点，也可以用向量方法进行计算；

- 在实际应用中，需要注意单位的一致性，例如长度单位应统一。

通过以上内容可以看出，点到面距离的公式不仅结构清晰，而且具有很强的实用性，是空间几何中的重要工具之一。掌握这一公式有助于解决许多实际问题，特别是在计算机图形学、工程力学和物理学中。