【二次函数的6个公式】在初中和高中数学中，二次函数是一个非常重要的知识点。它不仅在代数中占据重要地位，还在几何、物理等学科中有广泛应用。掌握二次函数的相关公式，有助于快速解题和理解其图像性质。
以下是关于二次函数的6个关键公式，帮助你全面了解这一内容。
一、基本形式
公式1：一般式
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中，$ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数。
- $ a $ 决定抛物线的开口方向（$ a > 0 $ 向上，$ a < 0 $ 向下）
- $ c $ 是与 y 轴交点的纵坐标
二、顶点式
公式2：顶点式
$$ y = a(x - h)^2 + k $$
其中，$ (h, k) $ 是抛物线的顶点坐标。
- 便于快速确定顶点位置
- 常用于求最大值或最小值问题
三、对称轴公式
公式3：对称轴方程
$$ x = -\frac{b}{2a} $$
- 抛物线的对称轴是垂直于 x 轴的直线
- 对称轴经过顶点
四、判别式公式
公式4：判别式
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
- 判别式的符号决定二次方程的实根情况
- $ \Delta > 0 $：两个不相等的实数根
- $ \Delta = 0 $：一个实数根（重根）
- $ \Delta < 0 $：无实数根
五、根与系数关系（韦达定理）
公式5：根与系数的关系
若二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两根为 $ x_1 $、$ x_2 $，则有：
- $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $
- $ x_1 x_2 = \frac{c}{a} $
- 常用于构造方程或分析根的性质
六、求根公式（求根公式）
公式6：求根公式
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
- 用于求解任意二次方程的实数或复数根
- 是最通用的解法
二次函数常用公式总结表
| 公式编号 | 公式名称 | 表达式 | 说明 |
| 1 | 一般式 | $ y = ax^2 + bx + c $ | 最基础的形式 |
| 2 | 顶点式 | $ y = a(x - h)^2 + k $ | 易于找出顶点 |
| 3 | 对称轴公式 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 确定抛物线的对称轴 |
| 4 | 判别式 | $ \Delta = b^2 - 4ac $ | 判断实根数量 |
| 5 | 根与系数关系 | $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $，$ x_1 x_2 = \frac{c}{a} $ | 分析根的性质 |
| 6 | 求根公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | 解任意二次方程 |
通过掌握这六个公式，你可以更高效地解决与二次函数相关的数学问题，并在考试或实际应用中灵活运用。建议结合图像进行理解，以加深记忆。
