【二次函数表达式】二次函数是初中数学中非常重要的一个知识点，它在实际问题和几何图形中都有广泛的应用。二次函数的一般形式为：
y = ax² + bx + c，其中 a ≠ 0。
为了帮助大家更好地理解和掌握二次函数的相关知识，以下是对二次函数表达式的总结，结合表格形式进行展示。
一、二次函数的基本概念
| 概念 | 含义 |
| 二次函数 | 形如 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a ≠ 0 |
| 二次项 | ax²，a 是二次项系数 |
| 一次项 | bx，b 是一次项系数 |
| 常数项 | c，是函数的常数项 |
| 定义域 | 全体实数 R |
| 图像 | 抛物线，对称轴为 x = -b/(2a) |
二、二次函数的不同表达形式
| 表达式类型 | 一般形式 | 特点 |
| 标准式 | y = ax² + bx + c | 最常见的形式，便于计算顶点、判别式等 |
| 顶点式 | y = a(x - h)² + k | 可直接看出顶点 (h, k) |
| 因式分解式 | y = a(x - x₁)(x - x₂) | 可直接看出与 x 轴的交点（根）x₁ 和 x₂ |
三、关键性质与公式
| 内容 | 公式或说明 |
| 顶点坐标 | ( -b/(2a), f(-b/(2a)) ) |
| 对称轴 | x = -b/(2a) |
| 判别式 | Δ = b² - 4ac |
| 根的情况 | 当 Δ > 0 时有两个不相等实根；Δ = 0 时有一个实根；Δ < 0 时无实根 |
| 开口方向 | 当 a > 0 时开口向上；a < 0 时开口向下 |
四、常见题型与解法
| 题型 | 解法 |
| 已知三点求表达式 | 设标准式 y = ax² + bx + c，代入三点建立方程组求解 |
| 已知顶点和一点求表达式 | 用顶点式 y = a(x - h)² + k，代入已知点求 a |
| 已知两个零点和一点求表达式 | 用因式分解式 y = a(x - x₁)(x - x₂)，代入点求 a |
五、应用举例
例1：
已知二次函数图像经过点 (1, 2)、(2, 5)、(3, 10)，求其表达式。
解：
设表达式为 y = ax² + bx + c，代入三个点得：
- a + b + c = 2
- 4a + 2b + c = 5
- 9a + 3b + c = 10
解得：a = 1，b = 0，c = 1
所以表达式为 y = x² + 1
通过以上内容，我们可以清晰地了解二次函数的表达方式及其相关性质。掌握这些知识，有助于解决实际问题，并为进一步学习函数图像、极值等问题打下坚实的基础。
