在数学分析中，泰勒公式是一种非常重要的工具，它能够将一个函数在某一点附近展开为无穷级数的形式。这种展开形式不仅有助于我们理解函数的性质，还广泛应用于数值计算和理论研究中。以下是常见的十个泰勒公式，它们分别针对不同的基本初等函数。

1. 指数函数 \( e^x \) 的泰勒展开：

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

2. 自然对数函数 \( \ln(1+x) \) 的泰勒展开（当 \( |x| < 1 \)）：

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \]

3. 正弦函数 \( \sin(x) \) 的泰勒展开：

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

4. 余弦函数 \( \cos(x) \) 的泰勒展开：

\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

5. 幂函数 \( (1+x)^n \) 的泰勒展开（二项式定理的一种形式）：

\[ (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \cdots \]

6. 反正切函数 \( \arctan(x) \) 的泰勒展开（当 \( |x| < 1 \)）：

\[ \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \]

7. 双曲正弦函数 \( \sinh(x) \) 的泰勒展开：

\[ \sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \]

8. 双曲余弦函数 \( \cosh(x) \) 的泰勒展开：

\[ \cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \]

9. 幂函数 \( \frac{1}{1-x} \) 的泰勒展开（当 \( |x| < 1 \)）：

\[ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \]

10. 幂函数 \( \frac{1}{(1+x)^2} \) 的泰勒展开（当 \( |x| < 1 \)）：

\[ \frac{1}{(1+x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \cdots \]

以上这些泰勒公式在实际应用中具有很高的价值，尤其是在工程学、物理学以及计算机科学等领域。通过掌握这些基本的泰勒展开式，我们可以更深入地理解各种函数的行为，并利用它们进行精确的近似计算。