【2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案】在众多数学竞赛中，全国初中数学竞赛作为一项重要的选拔性考试，一直备受关注。2012年的竞赛试题以其严谨的逻辑性和较强的综合性，成为许多学生和教师研究的重点。本文将围绕该年度竞赛的“正题”部分，提供一份详细的参考答案与解析，帮助读者更好地理解题目思路与解题技巧。
一、选择题解析
选择题部分主要考察学生对基础知识的掌握程度以及快速解题能力。例如：
第1题：
已知 $ a = \frac{1}{2} $，$ b = -\frac{1}{3} $，则 $ a + b $ 的值为（ ）
A. $\frac{1}{6}$
B. $-\frac{1}{6}$
C. $\frac{5}{6}$
D. $-\frac{5}{6}$
解析：
直接计算：
$$
a + b = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{3}) = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}
$$
因此，正确答案是 A。
二、填空题分析
填空题注重考查学生的计算能力和对公式的灵活运用。
第6题：
若 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $，则 $ x = \_\_\_\_ $。
解析：
这是一个一元二次方程，可因式分解为：
$$
(x - 1)(x - 3) = 0
$$
所以，解为 $ x = 1 $ 或 $ x = 3 $。
三、解答题详解
解答题是整套试卷中难度最高、分值最大的部分，要求考生具备较强的逻辑推理和综合应用能力。
第12题：
已知一个等腰三角形的两边长分别为 5 和 8，求第三边的长度范围。
解析：
根据三角形不等式定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
设第三边为 $ x $，则：
- 若 5 和 8 是两腰，则第三边为底边，此时应满足：
$$
|5 - 8| < x < 5 + 8 \Rightarrow 3 < x < 13
$$
- 若 5 是底边，8 是腰，则第三边也为 8，此时三角形成立。
综上，第三边的取值范围为 3 < x < 13。
四、综合题突破
第15题：
已知函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像经过点 (1, 2)，(2, 5)，(3, 10)，求 $ a + b + c $ 的值。
解析：
将三个点代入函数表达式：
1. 当 $ x = 1 $，$ y = 2 $：
$$
a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 2 \quad \text{(1)}
$$
2. 当 $ x = 2 $，$ y = 5 $：
$$
a(4) + b(2) + c = 4a + 2b + c = 5 \quad \text{(2)}
$$
3. 当 $ x = 3 $，$ y = 10 $：
$$
a(9) + b(3) + c = 9a + 3b + c = 10 \quad \text{(3)}
$$
通过联立方程组，可以解得 $ a = 1 $，$ b = 0 $，$ c = 1 $。
因此，$ a + b + c = 1 + 0 + 1 = 2 $。
五、总结
2012年全国初中数学竞赛试题（正题）整体难度适中，兼顾基础与拓展，既考查了学生的计算能力，也强调了逻辑思维和综合应用能力。通过对试题的深入解析，可以帮助学生在备考过程中查漏补缺，提升解题效率和准确率。
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