一、选择题（每小题4分，共32分）

1. 若实数a满足条件\(a^2 - 5a + 6 = 0\)，则a的值为（ ）。

A. 2和3 B. -2和-3 C. 1和4 D. -1和-4

解析：将方程分解因式得\((a - 2)(a - 3) = 0\)，因此a的值为2和3。

答案：A

2. 已知两个实数x与y满足关系式\(x + y = 7\)且\(xy = 12\)，求x和y的值。

A. 3和4 B. -3和-4 C. 2和5 D. -2和-5

解析：根据题目条件，可以构造出一个二次方程\(t^2 - 7t + 12 = 0\)，通过解此方程可得x和y分别为3和4。

答案：A

二、填空题（每小题5分，共20分）

3. 实数a满足\(a^2 = 9\)，则a的值为__________。

答案：±3

4. 若实数b满足\(b^2 - 8b + 15 = 0\)，则b的值为__________。

答案：3和5

三、解答题（共48分）

5. （本题满分12分）设实数m满足\(m^2 - 4m + 4 = 0\)，试判断m是否唯一，并说明理由。

解析：原方程可化简为\((m - 2)^2 = 0\)，由此可知m的唯一解为2。

答案：m唯一，其值为2。

6. （本题满分16分）已知实数p和q满足\(p + q = 10\)，\(pq = 24\)，求\(p^2 + q^2\)的值。

解析：利用公式\(p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq\)，代入已知条件得\(p^2 + q^2 = 10^2 - 2 \times 24 = 100 - 48 = 52\)。

答案：52

7. （本题满分20分）证明：对于任意实数a和b，均有\((a + b)^2 \geq 4ab\)。

解析：展开左边表达式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，右边为\(4ab\)，要证不等式成立，只需证明\(a^2 - 2ab + b^2 \geq 0\)，即\((a - b)^2 \geq 0\)，显然成立。

答案：略

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