在信号处理和数学分析中，小波变换是一种非常有用的工具，它能够将信号分解为不同的频率成分，并且具有良好的时频局部化特性。小波变换的核心在于其公式表达，通过这一公式可以实现对信号的多尺度分析。

小波变换的基本公式如下：

\[ W(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{\psi_{a,b}(t)} dt \]

其中：

- \( W(a, b) \) 表示小波系数，它描述了信号 \( f(t) \) 在尺度 \( a \) 和位置 \( b \) 上的信息。

- \( \psi_{a,b}(t) \) 是小波函数，它是母小波 \( \psi(t) \) 经过伸缩和平移得到的函数，具体形式为：

\[ \psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \psi\left(\frac{t-b}{a}\right) \]

其中 \( a \neq 0 \) 是尺度参数，\( b \) 是平移参数。

- \( f(t) \) 是待分析的信号。

这个公式表明，小波变换通过对信号与小波函数的内积来提取信号在不同尺度和位置上的特征。小波变换的优点在于它可以同时提供信号的时间和频率信息，这使得它在许多领域如图像处理、音频分析以及数据压缩等方面得到了广泛应用。

为了更好地理解小波变换的应用，我们可以考虑一个简单的例子。假设我们有一个时间序列信号 \( f(t) \)，我们想要了解该信号在不同频率下的变化情况。通过选择合适的小波函数并应用上述公式进行计算，就可以获得信号在各个尺度上的小波系数，进而揭示信号的局部特征。

总之，小波变换公式是理解和应用小波变换的基础，它为我们提供了强大的工具来探索复杂的信号世界。