在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的知识点，它不仅在理论学习中占据核心地位，还广泛应用于物理、工程等多个领域。为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，本文整理了一份详细的三角函数公式表，希望能为大家提供便利。
一、基本定义
1. 正弦（Sine）与余弦（Cosine）
对于任意角 \( \theta \)，正弦和余弦分别定义为：
\[
\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}
\]
2. 正切（Tangent）与余切（Cotangent）
正切和余切的关系如下：
\[
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
\]
二、诱导公式
诱导公式是解决角度变换问题的重要工具，以下是常见的几种情况：
1. 奇偶性关系
\[
\sin(-x) = -\sin(x), \quad \cos(-x) = \cos(x)
\]
\[
\tan(-x) = -\tan(x), \quad \cot(-x) = -\cot(x)
\]
2. 补角关系
\[
\sin(\pi - x) = \sin(x), \quad \cos(\pi - x) = -\cos(x)
\]
\[
\tan(\pi - x) = -\tan(x), \quad \cot(\pi - x) = -\cot(x)
\]
3. 周期性关系
\[
\sin(x + 2k\pi) = \sin(x), \quad \cos(x + 2k\pi) = \cos(x)
\]
\[
\tan(x + k\pi) = \tan(x), \quad \cot(x + k\pi) = \cot(x) \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
三、两角和差公式
两角和差公式用于处理涉及两个角度的三角函数计算，具体如下：
1. 和角公式
\[
\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
\[
\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
\]
\[
\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
\]
2. 差角公式
\[
\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
\]
\[
\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
\]
\[
\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}
\]
四、倍角与半角公式
倍角和半角公式在化简复杂表达式时非常实用。
1. 倍角公式
\[
\sin(2x) = 2\sin x \cos x, \quad \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x
\]
\[
\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}
\]
2. 半角公式
\[
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \cos x}{2}, \quad \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos x}{2}
\]
\[
\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}
\]
五、积化和差与和差化积
这类公式常用于将乘积形式转化为和差形式或反之。
1. 积化和差
\[
\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]
\]
\[
\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]
\]
\[
\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]
\]
2. 和差化积
\[
\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
\[
\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
\[
\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
六、三角函数的图像性质
1. 正弦函数
- 周期：\( T = 2\pi \)
- 对称轴：\( x = k\pi + \frac{\pi}{2} \) (\( k \in \mathbb{Z} \))
2. 余弦函数
- 周期：\( T = 2\pi \)
- 对称轴：\( x = k\pi \) (\( k \in \mathbb{Z} \))
3. 正切函数
- 周期：\( T = \pi \)
- 定义域：\( x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} \) (\( k \in \mathbb{Z} \))
以上便是高中阶段常用的三角函数公式表，希望这份总结能够帮助大家快速回顾并熟练运用这些公式。如果还有其他疑问，欢迎随时交流探讨！
