在高中数学的学习中，椭圆是一个重要的几何图形，它不仅出现在解析几何部分，还常常与其他知识点相结合进行综合考查。其中，求解椭圆的离心率是学生需要掌握的一项基本技能。本文将通过一系列精选习题，帮助大家更好地理解并熟练掌握这一知识点。
一、基础知识回顾
首先，我们来复习一下关于椭圆的基本概念和公式：
1. 标准方程
椭圆的标准方程有两种形式：
- 横轴为长轴时：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)（其中 \( a > b > 0 \)）
- 纵轴为长轴时：\( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \)（其中 \( a > b > 0 \)）
2. 离心率定义
椭圆的离心率 \( e \) 是指焦点到中心的距离与半长轴长度的比值，即：
\[
e = \frac{c}{a}, \quad c = \sqrt{a^2 - b^2}
\]
其中 \( c \) 表示焦距的一半。
3. 性质
- 当 \( 0 < e < 1 \)，椭圆是封闭曲线。
- 随着 \( e \) 的增大，椭圆越扁。
二、典型例题解析
例题 1
已知椭圆方程为 \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \)，求其离心率。
分析
由标准方程可知，\( a^2 = 25 \), \( b^2 = 9 \)。因此：
\[
c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4
\]
离心率为：
\[
e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}
\]
答案
离心率为 \( \boxed{\frac{4}{5}} \)。
例题 2
若一个椭圆的离心率为 \( e = \frac{1}{2} \)，且短轴长为 6，求该椭圆的标准方程。
分析
已知 \( e = \frac{1}{2} \)，则 \( c = ea = \frac{1}{2}a \)。又因为短轴长为 6，所以 \( b = 3 \)。根据关系式 \( c^2 = a^2 - b^2 \)，代入可得：
\[
\left( \frac{1}{2}a \right)^2 = a^2 - 3^2
\]
化简后得到：
\[
\frac{1}{4}a^2 = a^2 - 9 \implies \frac{3}{4}a^2 = 9 \implies a^2 = 12
\]
因此，\( a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)。标准方程为：
\[
\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{9} = 1
\]
答案
椭圆的标准方程为 \( \boxed{\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{9} = 1} \)。
例题 3
已知椭圆的一个焦点坐标为 \( (3, 0) \)，且短轴长为 8，求其标准方程。
分析
焦点坐标为 \( (3, 0) \)，说明长轴沿 \( x \)-轴方向，且 \( c = 3 \)。短轴长为 8，则 \( b = 4 \)。根据关系式 \( c^2 = a^2 - b^2 \)，代入可得：
\[
3^2 = a^2 - 4^2 \implies 9 = a^2 - 16 \implies a^2 = 25
\]
因此，标准方程为：
\[
\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1
\]
答案
椭圆的标准方程为 \( \boxed{\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1} \)。
三、练习巩固
1. 已知椭圆方程为 \( \frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{24} = 1 \)，求其离心率。
2. 若一个椭圆的离心率为 \( e = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，且短轴长为 4，求其标准方程。
3. 已知椭圆的一个焦点坐标为 \( (0, 5) \)，且长轴长为 10，求其标准方程。
通过以上习题的练习，希望大家能够更加熟悉椭圆离心率的计算方法及其应用。在实际考试中，这类题目往往结合其他知识点一起考查，因此建议同学们多做综合题型，提升解题能力。
