【求根公式推导】在数学中，一元二次方程的求根公式是解决形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程的重要工具。该公式的推导过程不仅体现了代数运算的逻辑性，也展示了如何通过配方法将一般式转化为标准形式。以下是对求根公式的详细推导过程总结，并以表格形式展示关键步骤。
一、推导过程总结
1. 从标准式出发
假设有一个一元二次方程：
$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
$$
2. 移项处理
将常数项移到等号右边：
$$
ax^2 + bx = -c
$$
3. 两边同除以 $ a $
为方便配方，将方程两边同时除以 $ a $：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
$$
4. 配方操作
在左边添加一个适当的常数项，使其成为完全平方：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
5. 整理左边和右边
左边变为完全平方形式，右边化简为一个分数：
$$
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
$$
6. 开平方并解出 $ x $
对两边开平方，得到：
$$
x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}
$$
7. 移项并简化
移项后得到最终的求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
二、关键步骤表格
| 步骤 | 操作 | 公式表达 |
| 1 | 原始方程 | $ ax^2 + bx + c = 0 $ |
| 2 | 移项 | $ ax^2 + bx = -c $ |
| 3 | 两边除以 $ a $ | $ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} $ |
| 4 | 配方 | $ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $ |
| 5 | 整理左右两边 | $ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $ |
| 6 | 开平方 | $ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} $ |
| 7 | 解出 $ x $ | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
三、结论
通过上述推导过程可以看出，求根公式的得出依赖于对一元二次方程进行配方和开平方的操作。这一公式不仅适用于实数系数的方程，也可以推广到复数范围。掌握其推导过程有助于理解二次方程的本质，并为后续学习高次方程、函数图像等内容打下坚实基础。
