【概率论与数理统计公式】在学习概率论与数理统计的过程中，掌握基本的公式是理解相关概念和进行实际计算的关键。以下是对概率论与数理统计中常用公式的总结，结合理论知识与实际应用，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、概率论基础公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |||
| 概率定义 | $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ | 事件A发生的概率等于其有利结果数除以总可能结果数 | |||
| 加法原理 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 两个事件至少有一个发生的概率 | |||
| 乘法原理 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B | A) $ | 两个事件同时发生的概率 | ||
| 条件概率 | $ P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $ | 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B | A_i) $ | 多个互斥事件下某事件的概率计算 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(A_i | B) = \frac{P(A_i)P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B | A_j)} $ | 已知结果求原因的概率 |
二、随机变量及其分布
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 数学期望（离散） | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) $ | 随机变量X的平均值 |
| 数学期望（连续） | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | 连续型随机变量的期望 |
| 方差 | $ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 衡量随机变量波动大小 |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | n次独立试验中成功k次的概率 |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | 描述单位时间内发生次数的概率分布 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 常见的连续型分布，具有对称性 |
三、统计推断相关公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 样本均值 | $ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $ | 数据集的平均值 |
| 样本方差 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ | 数据的离散程度 |
| 置信区间（正态分布） | $ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ | 估计总体均值的置信区间 |
| 假设检验（Z检验） | $ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} $ | 判断样本均值是否显著不同于假设值 |
| 卡方检验统计量 | $ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $ | 检验观察频数与期望频数是否一致 |
四、常见分布参数表
| 分布类型 | 参数 | 数学期望 | 方差 |
| 二项分布 | n, p | np | np(1-p) |
| 泊松分布 | λ | λ | λ |
| 正态分布 | μ, σ² | μ | σ² |
| 指数分布 | λ | 1/λ | 1/λ² |
| 均匀分布 | a, b | (a+b)/2 | (b-a)²/12 |
通过以上公式的整理与归纳，可以系统地掌握概率论与数理统计中的核心内容。这些公式不仅有助于理论分析，也广泛应用于数据分析、金融建模、工程优化等多个领域。建议在实际应用中结合具体问题灵活运用，并不断加深对概率统计思想的理解。
