【导数加减乘除公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握导数的加减乘除运算法则，有助于更高效地求解复杂函数的导数。以下是对导数基本运算规则的总结，并以表格形式清晰展示。
一、导数的基本运算法则
1. 导数的加法法则
若函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在某点可导，则它们的和的导数等于各自导数的和：
$$
\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
$$
2. 导数的减法法则
类似于加法法则，差的导数等于各自导数的差：
$$
\frac{d}{dx}[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)
$$
3. 导数的乘法法则（乘积法则）
若 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 可导，则乘积的导数为：
$$
\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
$$
4. 导数的除法法则（商数法则）
若 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 可导且 $ g(x) \neq 0 $，则商的导数为：
$$
\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
二、常见函数导数示例
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
三、综合应用举例
例1：
已知 $ f(x) = x^2 + \sin x $，求导数。
解：
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\sin x) = 2x + \cos x
$$
例2：
已知 $ f(x) = x^3 \cdot \cos x $，求导数。
解：
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot \cos x + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x
$$
例3：
已知 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $，求导数。
解：
$$
f'(x) = \frac{\frac{d}{dx}(x^2) \cdot \sin x - x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)}{(\sin x)^2} = \frac{2x \sin x - x^2 \cos x}{\sin^2 x}
$$
四、总结
导数的加减乘除运算是微积分学习中的基础内容，熟练掌握这些规则能够帮助我们快速计算复合函数的导数。通过结合基本函数的导数公式与运算法则，可以解决更多实际问题。建议多做练习题，加深理解并提高计算准确性。
