【向量积的计算方法】在三维几何与线性代数中，向量积（也称为叉积）是一种重要的运算，常用于计算两个向量之间的垂直向量。它在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用。本文将总结向量积的基本概念、计算公式以及相关性质，并以表格形式进行归纳。

一、向量积的基本概念

向量积是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个与原向量都垂直的新向量。设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积 a × b 是一个向量，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量所形成的平行四边形的面积。

二、向量积的计算公式

向量积 a × b 的计算公式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以表示为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)

$$

三、向量积的性质

四、向量积的应用

- 计算面积：两个向量构成的平行四边形的面积为 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$

- 确定法向量：在平面几何中，向量积可用于求解平面的法向量

- 物理应用：如力矩、磁力等物理量的计算

五、示例计算

设 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (2×6 - 3×5, 3×4 - 1×6, 1×5 - 2×4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)

$$

六、总结

向量积是一种重要的向量运算，具有明确的数学表达和广泛的实际应用。通过掌握其计算方法和基本性质，可以更高效地处理三维空间中的几何与物理问题。理解并灵活运用向量积，有助于提升在科学与工程领域的分析能力。

附表：向量积计算关键信息汇总

如需进一步了解向量积与点积的区别，可参考相关资料进行扩展学习。