【计算一个简单的二重极限】在数学分析中，二重极限是研究多元函数在某一点附近的行为的重要工具。与一元函数的极限不同，二重极限需要考虑变量从任意方向趋近于某点时函数值的变化趋势。本文将通过一个具体的例子，来说明如何计算一个简单的二重极限，并以加表格的形式展示结果。

一、问题描述

我们考虑以下二重极限：

$$

\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}

$$

这是一个常见的二重极限问题，其特点是分子和分母都包含 $x$ 和 $y$ 的平方项，且在原点处可能不连续。

二、解题思路

为了计算这个极限，我们可以采用以下几种方法：

1. 路径法：尝试沿着不同的路径（如 $y = kx$）趋近于原点，观察极限是否一致。

2. 极坐标法：将 $x$ 和 $y$ 转换为极坐标形式，简化表达式。

3. 夹逼定理：寻找上下界，判断极限是否存在。

三、解题过程

方法一：路径法

- 沿 $y = 0$ 趋近：

$$

\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot 0}{x^2 + 0} = 0

$$

- 沿 $x = 0$ 趋近：

$$

\lim_{y \to 0} \frac{0 \cdot y}{0 + y^2} = 0

$$

- 沿 $y = x$ 趋近：

$$

\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot x}{x^2 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0

$$

- 沿 $y = x^2$ 趋近：

$$

\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot x^2}{x^2 + x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{x^2(1 + x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 + x^2} = 0

$$

所有路径下的极限均为 0，初步判断极限可能存在。

方法二：极坐标法

令 $x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$，当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时，$r \to 0$。

代入原式：

$$

\frac{(r \cos\theta)^2 (r \sin\theta)}{(r \cos\theta)^2 + (r \sin\theta)^2} = \frac{r^3 \cos^2\theta \sin\theta}{r^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = r \cos^2\theta \sin\theta

$$

因为 $\cos^2\theta \sin\theta$ 是有界的（最大值为 1），所以整个表达式随着 $r \to 0$ 趋向于 0。

因此，极限为 0。

方法三：夹逼定理

由于：

$$

\left \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right \leq \left \frac{x^2 y}{x^2} \right = y

$$

而 $y \to 0$ 当 $(x, y) \to (0, 0)$，由夹逼定理可知：

$$

\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0

$$

四、结论

通过多种方法验证，该二重极限存在且等于 0。

五、总结与表格

综上所述，该二重极限的结果为 0，且通过多种方法验证了其正确性。这表明在某些情况下，即使函数在原点处不连续，二重极限仍可能存在。