【导数公式表】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。掌握常见的导数公式，有助于快速求解函数的导数，提高计算效率。以下是对常见导数公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数表达式 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、复合函数的导数法则
1. 链式法则：若 $ y = f(g(x)) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
2. 乘积法则：若 $ y = u(x)v(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 商数法则：若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
五、高阶导数简介
对于一些复杂函数，可能需要计算其高阶导数（如二阶导数、三阶导数等）。例如：
- $ f(x) = x^n $ 的 n 阶导数为 $ f^{(n)}(x) = n! $
- $ f(x) = e^x $ 的任意阶导数仍为 $ e^x $
六、小结
导数是数学分析中的核心工具之一，掌握各类函数的导数公式不仅有助于理解函数的性质，还能在实际问题中快速求解变化率或极值问题。通过上述表格，可以系统地回顾和应用这些基础公式，为后续的积分、微分方程等内容打下坚实的基础。
