【几何平均数的公式】几何平均数是统计学中常用的一种平均值计算方法，尤其适用于表示增长率、比率或变化率等连续变化的数据。与算术平均数不同，几何平均数更能反映数据之间的乘积关系，常用于金融、经济、生物等领域。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是指将一组数值相乘后，再开n次方（n为数值个数）所得到的结果。它适用于所有数值均为正数的情况，且对极端值不敏感，因此在处理百分比变化或复利增长时更为准确。
二、几何平均数的公式
设有一组正实数 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，则它们的几何平均数 $ G $ 的公式为：
$$
G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n}
$$
或者写成指数形式：
$$
G = (x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n)^{\frac{1}{n}}
$$
三、几何平均数的特点
| 特点 | 描述 |
| 适用于正数 | 几何平均数要求所有数据均为正数，否则无法计算 |
| 反映乘积关系 | 更适合表示增长率、比率等连续变化的数据 |
| 对极端值不敏感 | 相比算术平均数，几何平均数对极大或极小值的敏感度较低 |
| 常用于复利计算 | 在投资回报率、年化收益率等场景中广泛应用 |
四、几何平均数的计算示例
假设某公司过去三年的年利润增长率为：5%、10%、15%，求其年均增长率。
步骤如下：
1. 将增长率转换为倍数：1.05、1.10、1.15
2. 计算几何平均数：
$$
G = \sqrt[3]{1.05 \times 1.10 \times 1.15} = \sqrt[3]{1.32825} \approx 1.10
$$
3. 转换为百分比：$ 1.10 - 1 = 0.10 = 10\% $
因此，该公司的年均增长率为 10%。
五、几何平均数 vs 算术平均数
| 比较项 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 公式 | $ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n} $ | $ \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} $ |
| 适用场景 | 百分比变化、增长率 | 平均值、基础数据集 |
| 对极端值敏感度 | 较低 | 较高 |
| 数据类型 | 正数 | 任意实数 |
六、总结
几何平均数是一种重要的统计指标，尤其适用于描述具有乘法关系的数据。它的计算方式能够更真实地反映数据的增长趋势，避免了算术平均数可能带来的偏差。在实际应用中，如金融分析、人口增长、产品性能评估等领域，几何平均数都是不可或缺的工具。
| 名称 | 公式 | 用途 |
| 几何平均数 | $ G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n} $ | 表示增长率、比率、复利等 |
| 算术平均数 | $ A = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} $ | 表示一般平均值 |
