【arctanx的泰勒展开式是什么】在数学中，泰勒展开式是一种将函数表示为无限级数的方法，适用于在某一点附近可微的函数。对于反三角函数 arctanx（即反正切函数），其泰勒展开式在 x = 0 处（也称为麦克劳林展开）具有重要的应用价值，尤其是在计算积分、近似值和解析函数的研究中。

一、arctanx的泰勒展开式

arctanx 的泰勒展开式在 x = 0 处是：

$$

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}

$$

该级数的收敛半径为 1，即当 x < 1 时，级数收敛；当 x = 1 时，级数在 x = 1 处收敛，在 x = -1 处发散。

二、展开式的部分项展示

以下是 arctanx 的前几项泰勒展开式：

三、总结

- arctanx 的泰勒展开式是以 x = 0 为中心的无穷级数。

- 展开式形式为：

$$

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots

$$

- 其收敛域为 x ≤ 1，其中在 x = ±1 处分别收敛与发散。

- 该展开式常用于数值计算、函数逼近和理论分析中。

通过理解 arctanx 的泰勒展开式，可以更深入地掌握反三角函数的性质及其在数学中的应用。

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