【和差化积积化和差公式推导】在三角函数的学习中，和差化积与积化和差是两个非常重要的公式，它们在简化三角表达式、求解方程以及进行数学分析时具有广泛应用。这些公式来源于三角函数的和角公式与差角公式，通过代数变形可以得到。
以下是对“和差化积”与“积化和差”公式的详细推导过程，并以表格形式总结其内容，便于理解和记忆。
一、基本公式回顾
首先，我们回顾三角函数的基本和差公式：
1. 正弦的和差公式：
- $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
- $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
2. 余弦的和差公式：
- $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
- $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
3. 正切的和差公式：
- $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
- $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$
二、和差化积公式推导
通过将上述和差公式相加或相减，可以得到“和差化积”的公式。
1. $\sin A + \sin B$
利用$\sin A + \sin B$的表达式：
$$
\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
推导过程：
令 $A = x + y$, $B = x - y$，则有：
- $\sin A + \sin B = \sin(x + y) + \sin(x - y)$
- 展开得：$\sin x \cos y + \cos x \sin y + \sin x \cos y - \cos x \sin y = 2 \sin x \cos y$
即：$\sin(x + y) + \sin(x - y) = 2 \sin x \cos y$，其中 $x = \frac{A + B}{2}, y = \frac{A - B}{2}$
因此：
$$
\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
2. $\sin A - \sin B$
$$
\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
3. $\cos A + \cos B$
$$
\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
4. $\cos A - \cos B$
$$
\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
三、积化和差公式推导
积化和差是将乘积形式的三角函数转化为和差形式的公式，常用于积分和微分计算中。
1. $\sin A \cos B$
$$
\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)
$$
推导过程：
由$\sin(A + B) + \sin(A - B)$展开得：
$$
\sin A \cos B + \cos A \sin B + \sin A \cos B - \cos A \sin B = 2 \sin A \cos B
$$
所以：
$$
\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)
$$
2. $\cos A \sin B$
$$
\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) - \sin(A - B)
$$
3. $\cos A \cos B$
$$
\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)
$$
4. $\sin A \sin B$
$$
\sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos(A + B) - \cos(A - B)
$$
四、总结表格
| 公式类型 | 公式表达式 | 推导来源 |
| 和差化积（sin+sin） | $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和角公式相加 |
| 和差化积（sin-sin） | $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和角公式相减 |
| 和差化积（cos+cos） | $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和角公式相加 |
| 和差化积（cos-cos） | $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和角公式相减 |
| 积化和差（sin·cos） | $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 和角公式展开 |
| 积化和差（cos·sin） | $\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) - \sin(A - B)]$ | 和角公式展开 |
| 积化和差（cos·cos） | $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 和角公式展开 |
| 积化和差（sin·sin） | $\sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos(A + B) - \cos(A - B)]$ | 和角公式展开 |
五、结语
“和差化积”与“积化和差”公式是三角函数中非常实用的工具，它们不仅有助于简化复杂的三角表达式，还能在解决实际问题中发挥重要作用。掌握这些公式的推导过程，有助于加深对三角函数的理解，并提高解题效率。
