【高三数学模拟试题】随着高考的临近，高三学生面临着越来越紧张的复习节奏。为了帮助同学们更好地掌握数学知识、提升解题能力，特此整理一份高质量的高三数学模拟试题，供同学们练习使用。
本套试题涵盖高中数学的主要知识点，包括函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计以及导数与不等式等内容，旨在全面考查学生的数学思维能力和综合应用能力。
一、选择题（每题5分，共40分）
1. 函数 $ f(x) = \log_2(x^2 - 3x + 2) $ 的定义域为（ ）
A. $ (1, 2) $
B. $ (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) $
C. $ [1, 2] $
D. $ (-\infty, 1] \cup [2, +\infty) $
2. 若 $ a > 0 $，且 $ \frac{a}{1+a} < \frac{b}{1+b} $，则以下关系成立的是（ ）
A. $ a < b $
B. $ a > b $
C. $ a = b $
D. 无法判断
3. 设向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (m, 3) $，若 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 7 $，则 $ m = $（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 在等比数列 $ \{a_n\} $ 中，已知 $ a_3 = 4 $，$ a_6 = 32 $，则公比 $ q = $（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5. 已知圆 $ x^2 + y^2 = 4 $ 和直线 $ y = x + 1 $，则它们的交点个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6. 若 $ \sin \theta = \frac{3}{5} $，且 $ \theta $ 在第二象限，则 $ \cos \theta = $（ ）
A. $ \frac{4}{5} $
B. $ -\frac{4}{5} $
C. $ \frac{3}{5} $
D. $ -\frac{3}{5} $
7. 已知 $ f(x) = x^3 - 3x $，则 $ f'(1) = $（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8. 抛掷一枚均匀硬币两次，出现“正反”或“反正”的概率是（ ）
A. $ \frac{1}{2} $
B. $ \frac{1}{4} $
C. $ \frac{3}{4} $
D. $ \frac{2}{3} $
二、填空题（每题5分，共20分）
9. 若 $ \tan \alpha = 2 $，则 $ \sin 2\alpha = $ ________。
10. 设集合 $ A = \{x | x^2 - 4x + 3 < 0\} $，则 $ A = $ ________。
11. 已知 $ \vec{a} = (2, -1) $，$ \vec{b} = (1, 3) $，则 $ |\vec{a} - \vec{b}| = $ ________。
12. 若 $ \log_2(2x - 1) = 3 $，则 $ x = $ ________。
三、解答题（共40分）
13. （10分）已知函数 $ f(x) = x^2 + ax + b $，其图像经过点 $ (1, 2) $，且在 $ x = 2 $ 处取得极值，求 $ a $、$ b $ 的值。
14. （10分）已知三角形 $ ABC $ 中，角 $ A $、$ B $、$ C $ 所对边分别为 $ a $、$ b $、$ c $，且满足 $ a = 2 $，$ b = 3 $，$ \cos C = \frac{1}{3} $，求 $ c $ 的值。
15. （10分）设数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = 2a_n + 1 $，求数列的通项公式。
16. （10分）已知函数 $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $，求其在区间 $ [-2, 2] $ 上的最大值和最小值。
参考答案（仅供参考）
1. B
2. A
3. B
4. A
5. C
6. B
7. A
8. A
9. $ \frac{4}{5} $
10. $ (1, 3) $
11. $ \sqrt{5} $
12. $ \frac{9}{2} $
13. $ a = -4 $，$ b = 5 $
14. $ c = \sqrt{11} $
15. $ a_n = 2^n - 1 $
16. 最大值为 $ \frac{1}{2} $，最小值为 $ -\frac{1}{2} $
通过这份模拟试题的练习，可以帮助学生查漏补缺，提高应试能力。建议在规定时间内完成，并结合参考答案进行详细分析，以达到最佳的复习效果。
