解析几何高考题汇编含答案

解析几何是高中数学的重要组成部分，也是高考中常考的知识点之一。为了帮助同学们更好地掌握这一部分的内容，本文将对近年来高考中的典型解析几何题目进行汇总，并附上详细的解答过程。

一、直线与圆的综合问题

例题1

已知直线方程为 $ y = kx + b $，圆的方程为 $ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 $。若直线与圆相切，求参数 $ k $ 和 $ b $ 的值。

解析

直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径。圆心为 $ (3, 4) $，半径为 $ 5 $。利用点到直线的距离公式，可得：

$$

\frac{|3k - 4 + b|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 5

$$

化简后得到关于 $ k $ 和 $ b $ 的关系式，结合其他条件即可求解。

二、椭圆与双曲线的应用

例题2

已知椭圆 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 的离心率为 $ \frac{\sqrt{3}}{2} $，且短轴长为 $ 2 $。求椭圆的标准方程。

解析

根据椭圆的性质，离心率 $ e = \frac{\sqrt{3}}{2} $，短轴长为 $ 2b = 2 $，即 $ b = 1 $。利用 $ e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} $，可求出 $ a $ 的值，进而确定椭圆的标准方程。

三、抛物线的相关问题

例题3

抛物线 $ y^2 = 4px $ 的焦点为 $ F $，准线为 $ x = -1 $。若点 $ P(2, 4) $ 在抛物线上，求 $ p $ 的值。

解析

抛物线的准线方程为 $ x = -1 $，焦点为 $ (p, 0) $。利用抛物线的定义，点 $ P $ 到焦点的距离等于其到准线的距离，列方程求解 $ p $。

通过以上题目和解析，我们可以看到解析几何在高考中的重要性。希望这些题目能够帮助同学们巩固基础知识，提升解题能力。如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时联系我。

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