在概率论中，几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布。它描述了独立重复试验中首次成功所需的试验次数。假设每次试验成功的概率为 \( p \)，失败的概率为 \( 1-p \)，则随机变量 \( X \) 表示首次成功所需试验次数时，其概率质量函数（PMF）为：
\[
P(X = k) = (1-p)^{k-1}p, \quad k = 1, 2, 3, \dots
\]
几何分布的期望
首先，我们计算几何分布的期望值 \( E[X] \)。根据期望的定义：
\[
E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X = k)
\]
代入 \( P(X = k) = (1-p)^{k-1}p \)，得到：
\[
E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1-p)^{k-1}p
\]
将 \( p \) 提出求和符号外，得到：
\[
E[X] = p \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1-p)^{k-1}
\]
令 \( q = 1-p \)，则上式变为：
\[
E[X] = p \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot q^{k-1}
\]
这是一个标准的幂级数求和问题。我们知道对于 \( |q| < 1 \)，有以下公式：
\[
\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot q^{k-1} = \frac{1}{(1-q)^2}
\]
由于 \( q = 1-p \)，因此 \( 1-q = p \)，代入后得到：
\[
E[X] = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}
\]
因此，几何分布的期望值为：
\[
E[X] = \frac{1}{p}
\]
几何分布的方差
接下来，我们计算几何分布的方差 \( Var(X) \)。方差的定义为：
\[
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
\]
首先计算 \( E[X^2] \)。根据定义：
\[
E[X^2] = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot P(X = k)
\]
代入 \( P(X = k) = (1-p)^{k-1}p \)，得到：
\[
E[X^2] = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot (1-p)^{k-1}p
\]
同样令 \( q = 1-p \)，则上式变为：
\[
E[X^2] = p \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot q^{k-1}
\]
利用幂级数求和公式，我们知道：
\[
\sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot q^{k-1} = \frac{1+q}{(1-q)^3}
\]
代入 \( q = 1-p \) 和 \( 1-q = p \)，得到：
\[
E[X^2] = p \cdot \frac{1+(1-p)}{p^3} = \frac{1+p}{p^2}
\]
因此，方差为：
\[
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1+p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)^2 = \frac{1+p}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p^2}
\]
综上所述，几何分布的期望和方差分别为：
\[
E[X] = \frac{1}{p}, \quad Var(X) = \frac{1-p}{p^2}
\]
以上即为几何分布的期望与方差的完整证明过程。
