在数学中，向量是一个非常重要的概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也有着不可或缺的地位。当我们讨论两个向量之间的关系时，一个常见的问题是它们是否垂直。那么，如何通过坐标来判断两个向量是否垂直呢？

首先，我们需要了解什么是向量的垂直性。如果两个向量的方向彼此正交（即成90度角），那么我们就说这两个向量是垂直的。在二维或三维空间中，这种关系可以通过内积（也称为点积）来定义和验证。

设我们有两个向量 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) 和 \(\vec{b} = (x_2, y_2)\)，其中 \(x_1, y_1, x_2, y_2\) 分别是这两个向量在坐标系中的分量。这两个向量的内积公式为：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2

\]

根据内积的性质，当且仅当两个向量的内积等于零时，这两个向量是垂直的。也就是说，如果 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)，则 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 是垂直的。

让我们来看一个具体的例子。假设我们有两个向量 \(\vec{a} = (3, -4)\) 和 \(\vec{b} = (4, 3)\)。计算它们的内积：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 4 + (-4) \times 3 = 12 - 12 = 0

\]

由于内积为零，我们可以得出结论，这两个向量是垂直的。

这种方法同样适用于三维空间中的向量。例如，对于向量 \(\vec{c} = (1, 2, 3)\) 和 \(\vec{d} = (4, -2, 1)\)，其内积为：

\[

\vec{c} \cdot \vec{d} = 1 \times 4 + 2 \times (-2) + 3 \times 1 = 4 - 4 + 3 = 3

\]

因为内积不为零，所以这两个向量不是垂直的。

总结来说，利用向量的坐标表示来判断两个向量是否垂直是一种简单而有效的方法。只需要将两个向量的对应分量相乘并求和，得到的结果如果是零，则这两个向量就是垂直的。这种方法在解决实际问题时具有很大的实用价值，并且易于理解和应用。