在学习《复变函数与积分变换》这门课程时，课后习题是巩固所学知识的重要环节。为了帮助大家更好地理解和掌握相关知识点，本文将对部分典型习题进行详细解答，希望对大家的学习有所帮助。

一、关于复数的基本运算

例题1：设复数z₁ = 3 + 4i, z₂ = -1 + 2i，求z₁+z₂和z₁·z₂。

解：

z₁+z₂ = (3+4i) + (-1+2i) = (3-1) + (4+2)i = 2 + 6i

z₁·z₂ = (3+4i)(-1+2i) = -3 + 6i - 4i + 8i² = -3 + 2i - 8 = -11 + 2i

因此，z₁+z₂=2+6i，z₁·z₂=-11+2i。

二、解析函数的概念及其性质

例题2：判断函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是否为解析函数，其中u(x,y) = x²-y², v(x,y) = 2xy。

解：要判断f(z)是否为解析函数，需验证柯西-黎曼方程是否成立。即：

∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = -∂v/∂x 是否同时成立。

计算偏导数：

∂u/∂x = 2x, ∂u/∂y = -2y

∂v/∂x = 2y, ∂v/∂y = 2x

显然，∂u/∂x = ∂v/∂y且∂u/∂y = -∂v/∂x，所以f(z)满足柯西-黎曼条件，且u(x,y)和v(x,y)具有连续的一阶偏导数，因此f(z)为解析函数。

三、积分变换的应用

例题3：利用傅里叶变换求解积分∫_{-∞}^{+∞} e^(-a|x|) dx，其中a>0。

解：

由于函数e^(-a|x|)是偶函数，所以可以写成：

∫_{-∞}^{+∞} e^(-a|x|) dx = 2∫_{0}^{+∞} e^(-ax) dx

令t=ax，则dt=a dx，当x从0到+∞变化时，t也从0到+∞。于是有：

2∫_{0}^{+∞} e^(-ax) dx = 2/a ∫_{0}^{+∞} e^(-t) dt = 2/a [(-e^(-t))]|_{0}^{+∞}

因为lim(t→+∞) e^(-t) = 0，而e^(0) = 1，所以结果为：

2/a (0 - (-1)) = 2/a

综上所述，原积分的结果为2/a。

通过上述几个例子可以看出，《复变函数与积分变换》中的许多问题都可以通过严谨的数学推导得到明确的答案。希望大家能够结合教材多做练习，在实践中加深理解，提高解决问题的能力。