【点到平面的距离公式】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的计算问题。了解并掌握这一公式的推导与应用，有助于解决空间几何中的实际问题。本文将对“点到平面的距离公式”进行总结，并以表格形式展示关键内容。

一、公式概述

点到平面的距离是指从一个点出发，垂直于该平面的最短距离。设平面上任意一点为 $ P_0(x_0, y_0, z_0) $，平面的一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

而点 $ P(x, y, z) $ 到该平面的距离 $ d $ 可用以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax + By + Cz + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

二、公式说明

- 分子部分：$ Ax + By + Cz + D $ 表示点 $ P $ 在平面方程中的代入结果的绝对值。

- 分母部分：$ \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} $ 是平面法向量的模长，表示平面的方向信息。

- 符号意义：由于使用了绝对值，因此结果始终为非负数，表示实际的距离长度。

三、关键参数说明

四、应用举例

假设有一个平面 $ 2x - 3y + 6z - 12 = 0 $，求点 $ P(1, 2, 3) $ 到该平面的距离。

步骤如下：

1. 代入公式：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(3) - 12}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 12}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{49}} = \frac{2}{7}

$$

结论： 点 $ P(1, 2, 3) $ 到平面 $ 2x - 3y + 6z - 12 = 0 $ 的距离为 $ \frac{2}{7} $。

五、注意事项

- 公式适用于所有三维空间中的点和平面。

- 若点在平面上，则距离为零。

- 当平面方程未标准化时（如系数不全为整数），应先化简再代入计算。

通过以上内容，我们可以清晰地理解点到平面的距离公式及其应用方式。掌握这一知识对于学习立体几何、工程计算及计算机图形学等领域具有重要意义。