【tan75度等于多少保留根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度值，通常可以通过三角恒等式来计算。由于75°可以表示为45°+30°，因此我们可以利用正切的加法公式进行推导。
一、公式推导
根据正切的加法公式：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
$$
令 $a = 45^\circ$，$b = 30^\circ$，则：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $\tan 45^\circ = 1$
- $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
代入公式得：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}
$$
接下来对分子和分母进行通分：
$$
= \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
为了去掉分母中的根号，我们对分子和分母同时乘以共轭 $\sqrt{3} + 1$：
$$
= \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}
$$
展开分子：
$$
(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}
$$
所以：
$$
\tan 75^\circ = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$
二、总结与表格展示
| 角度 | 正切值（保留根号） |
| 75° | $2 + \sqrt{3}$ |
通过上述推导可以看出，$\tan 75^\circ$ 的精确表达式为 $2 + \sqrt{3}$，这个结果保留了根号形式，适合用于数学计算或理论分析。
如果你需要更进一步的解释或相关角度的三角函数值，也可以继续提问。
