雅可比迭代法的核心在于利用当前迭代步的结果来更新下一个迭代步。假设在第 \( k \) 次迭代中，我们已经得到了近似解 \( x^{(k)} \)，那么下一次迭代的计算公式为：
\[
x^{(k+1)} = D^{-1}(b - (L + U)x^{(k)})
\]
这里的 \( D^{-1} \) 表示对角矩阵 \( D \) 的逆矩阵。通过不断重复这一过程，理论上可以使得 \( x^{(k)} \) 收敛到方程组的真实解 \( x^ \)。
需要注意的是，雅可比迭代法的收敛性依赖于系数矩阵 \( A \) 的性质。通常情况下，当 \( A \) 为严格对角占优或正定时，该方法能够有效收敛。此外，在实际应用中，为了提高计算效率，可以选择合适的初始值和终止条件以减少迭代次数。
作为一种基础而重要的数值算法，雅可比迭代法不仅广泛应用于科学计算领域，还在工程优化、数据分析等多个方向发挥着重要作用。掌握其原理与实现细节对于深入理解数值分析具有重要意义。
