【函数求导公式有哪些】在数学中，导数是微积分的重要组成部分，用于描述函数的变化率。掌握常见的函数求导公式，有助于快速解决各类数学问题。本文将总结常见的函数求导公式，并以表格形式直观展示。
一、基本求导公式
| 函数表达式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为0 |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数求导法则 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数为其本身 |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 底数为a的指数函数导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数函数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
二、三角函数求导公式
| 函数表达式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数是余弦函数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数是负的正弦函数 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数是正割平方 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数是负的余割平方 |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ | 正割函数的导数 |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数 |
三、反三角函数求导公式
| 函数表达式 | 导数表达式 | 说明 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | 反正弦函数的导数 | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | 反余弦函数的导数 | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | 反正切函数的导数 | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | 反余切函数的导数 | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ | 反正割函数的导数 |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ | 反余割函数的导数 |
四、复合函数与导数运算法则
| 运算法则 | 表达式 | 说明 |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ | 函数和差的导数等于各自导数的和差 |
| 积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ | 两个函数乘积的导数 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ | 两个函数商的导数 |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数 |
五、总结
掌握这些基本的函数求导公式，可以帮助我们在解题时更高效地处理导数问题。无论是初学者还是有一定基础的学习者，都可以通过不断练习来加深对这些公式的理解和应用。建议在学习过程中结合实际例子进行练习，从而提高解题能力。
