【洛必达法则常用求导公式】在微积分中，洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是求解不定型极限的一种重要方法，尤其适用于0/0或∞/∞形式的极限问题。使用该法则时，通常需要对分子和分母分别求导，然后再次计算极限。为了更高效地应用洛必达法则，掌握一些常见的函数求导公式是非常有必要的。
以下是对洛必达法则中常用求导公式的总结，帮助读者快速查阅和理解相关知识。
一、基本求导公式
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
二、复合函数求导公式（链式法则）
| 函数 | 导数 |
| $ \sin(u) $ | $ \cos(u) \cdot u' $ |
| $ \cos(u) $ | $ -\sin(u) \cdot u' $ |
| $ e^{u} $ | $ e^{u} \cdot u' $ |
| $ \ln(u) $ | $ \frac{1}{u} \cdot u' $ |
| $ u^n $ | $ n u^{n-1} \cdot u' $ |
| $ \tan(u) $ | $ \sec^2(u) \cdot u' $ |
| $ \log_a(u) $ | $ \frac{1}{u \ln a} \cdot u' $ |
三、乘积与商的求导法则
| 函数 | 导数 |
| $ u \cdot v $ | $ u'v + uv' $ |
| $ \frac{u}{v} $ | $ \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
四、洛必达法则的应用场景及注意事项
1. 适用条件：
- 极限为0/0或∞/∞形式；
- 分子和分母在某点附近可导；
- 分母导数不为零。
2. 使用步骤：
- 确认极限为不定型；
- 对分子和分母分别求导；
- 计算新的极限，若仍为不定型，可重复使用洛必达法则。
3. 注意事项：
- 不适合用于其他不定型（如∞−∞），需先进行变形；
- 求导过程中可能涉及复杂的运算，需仔细检查；
- 若多次使用后仍未得到结果，可能需换用其他方法（如泰勒展开、等价无穷小替换等）。
五、示例说明
例如，计算：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$
这是一个典型的0/0型极限，可以使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos(0) = 1
$$
通过熟练掌握上述常用求导公式，能够更加灵活地应用洛必达法则解决各种不定型极限问题。希望本篇总结能对学习微积分的同学有所帮助。
