【节约里程法例题及详解】节约里程法（Savings Algorithm）是物流与运输优化中常用的一种方法，主要用于解决车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）。该方法通过计算不同客户之间的“节约”距离来确定最优的配送路线，从而减少总行驶距离、降低运输成本。
以下是一道典型的节约里程法例题及其详细解答过程，以加表格形式呈现。
一、例题背景
某物流公司需要从一个仓库出发，向5个客户点送货。各客户点之间的距离如下表所示（单位：公里）：
| 客户 | A | B | C | D | E |
| A | 0 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| B | 10 | 0 | 12 | 18 | 22 |
| C | 15 | 12 | 0 | 14 | 16 |
| D | 20 | 18 | 14 | 0 | 10 |
| E | 25 | 22 | 16 | 10 | 0 |
假设所有客户都必须被访问一次，且每次配送只能由一辆车完成。要求使用节约里程法确定最优的配送路线。
二、解题步骤
步骤1：计算每对客户之间的节约里程
节约里程公式为：
$$
S_{ij} = d_{i0} + d_{0j} - d_{ij}
$$
其中：
- $d_{i0}$ 表示客户i到仓库的距离
- $d_{0j}$ 表示仓库到客户j的距离
- $d_{ij}$ 表示客户i到客户j的距离
由于题目中没有明确给出仓库到客户的距离，我们假设仓库到每个客户的距离等于客户到仓库的距离（即对称情况），即 $d_{i0} = d_{0i}$。
因此，我们可以直接根据客户之间的距离计算节约里程。
步骤2：列出所有客户对的节约里程
以下是所有客户对之间的节约里程计算结果（不包括自身）：
| 客户对 | 节约里程（公里） |
| A-B | 10 + 10 - 10 = 10 |
| A-C | 10 + 15 - 15 = 10 |
| A-D | 10 + 20 - 20 = 10 |
| A-E | 10 + 25 - 25 = 10 |
| B-C | 10 + 12 - 12 = 10 |
| B-D | 10 + 18 - 18 = 10 |
| B-E | 10 + 22 - 22 = 10 |
| C-D | 15 + 14 - 14 = 15 |
| C-E | 15 + 16 - 16 = 15 |
| D-E | 20 + 10 - 10 = 20 |
> 注意：以上计算基于对称假设，实际应用中可能需要考虑非对称情况。
步骤3：按节约里程从高到低排序
按照节约里程由大到小排列客户对：
| 排序 | 客户对 | 节约里程 |
| 1 | D-E | 20 |
| 2 | C-E | 15 |
| 3 | C-D | 15 |
| 4 | A-B | 10 |
| 5 | A-C | 10 |
| 6 | A-D | 10 |
| 7 | A-E | 10 |
| 8 | B-C | 10 |
| 9 | B-D | 10 |
| 10 | B-E | 10 |
步骤4：构建初始路径
初始时，每个客户单独成一条路径，即：
- [A
- [B
- [C
- [D
- [E
步骤5：合并路径（按节约里程）
从最大节约开始尝试合并：
1. 合并 D 和 E
路径变为：[D-E]，节约里程20
2. 合并 C 和 E
当前路径为 [D-E] 和 [C]，可以合并为 [C-D-E] 或 [D-E-C]，节约里程15
3. 合并 C 和 D
已经合并过，跳过
4. 合并 A 和 B
合并为 [A-B]，节约里程10
5. 合并 A 和 C
当前路径为 [A-B] 和 [C-D-E]，可合并为 [A-B-C-D-E] 或 [C-D-E-A-B]，节约里程10
最终路径为：
| A-B-C-D-E |
三、最终结果总结
| 路径顺序 | 总行驶距离（公里） | 节约里程（公里） |
| A-B-C-D-E | 10+12+14+10=46 | 20+15+10+10=55 |
> 注：总行驶距离为路径中相邻客户之间的距离之和，而节约里程为合并过程中累计的节约值。
四、结论
通过节约里程法，我们可以有效减少配送路径中的总行驶距离，提高运输效率。本例中，通过依次合并具有最高节约里程的客户对，最终得到一条合理的配送路线，减少了不必要的重复行驶。
此方法适用于中小型配送网络，尤其在客户数量不多的情况下效果显著。对于大规模问题，通常需要结合其他算法（如遗传算法、模拟退火等）进行优化。
