【拉氏变换公式表】拉普拉斯变换（Laplace Transform）是工程、物理和数学中广泛应用的一种积分变换方法，尤其在控制系统、信号处理和微分方程求解中具有重要地位。通过拉氏变换，可以将时域中的微分方程转换为复频域中的代数方程，从而简化计算过程。
为了便于查阅和应用，以下整理了常见的拉氏变换公式，以加表格的形式呈现，帮助读者快速掌握基本变换关系。
一、拉氏变换的基本概念
拉普拉斯变换的定义如下：
$$
\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^-}^{\infty} f(t) e^{-st} dt
$$
其中 $ s $ 是复数变量，$ f(t) $ 是定义在 $ t \geq 0 $ 上的函数。
二、常用拉氏变换公式表
| 原函数 $ f(t) $ | 拉氏变换 $ F(s) $ | 条件 |
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ | - |
| $ u(t) $ | $ \frac{1}{s} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ |
| $ t^n $ | $ \frac{n!}{s^{n+1}} $ | $ n \in \mathbb{N} $, $ \text{Re}(s) > 0 $ |
| $ e^{at} $ | $ \frac{1}{s - a} $ | $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ |
| $ \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ |
| $ \cos(\omega t) $ | $ \frac{s}{s^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ |
| $ e^{at} \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ |
| $ e^{at} \cos(\omega t) $ | $ \frac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ |
| $ t e^{at} $ | $ \frac{1}{(s - a)^2} $ | $ \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ |
| $ t^n e^{at} $ | $ \frac{n!}{(s - a)^{n+1}} $ | $ n \in \mathbb{N}, \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $ |
三、总结
拉氏变换是分析线性时不变系统的重要工具，能够将复杂的微分方程转化为简单的代数运算。上述公式涵盖了常见函数的拉氏变换结果，适用于多种工程与科学问题的求解。
在实际应用中，除了掌握这些基本公式外，还需了解拉氏变换的性质，如线性性、微分定理、积分定理、初值定理和终值定理等，以便更灵活地进行变换和反变换操作。
建议结合具体问题，查阅相关手册或使用数学软件（如MATLAB、Mathematica）辅助计算，提高效率与准确性。
