【常见的求导公式】在微积分的学习中，求导是基本且重要的内容之一。掌握常见的求导公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。以下是对一些常见函数的求导公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数公式 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数 |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 底数为a的指数函数导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
二、复合函数的导数公式（链式法则）
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
这在处理复杂函数时非常实用，例如：
- $ y = \sin(2x) $ 的导数为 $ \cos(2x) \cdot 2 $
- $ y = (x^2 + 1)^3 $ 的导数为 $ 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x $
三、三角函数与反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数 |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ | 正割函数的导数 |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数 |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | 反正弦函数的导数 |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | 反余弦函数的导数 |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | 反正切函数的导数 |
四、其他常用导数公式
| 函数表达式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = \sqrt{x} $ | $ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $ | 根号函数的导数 |
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ f'(x) = -\frac{1}{x^2} $ | 倒数函数的导数 |
| $ f(x) = \text{sgn}(x) $ | $ f'(x) = 0 $（x ≠ 0） | 符号函数的导数（仅在x≠0处可导） |
总结
求导是微积分的核心工具之一，熟练掌握各种函数的导数公式，可以显著提升解题效率。以上列出的是常见的求导公式，涵盖多项式、指数、对数、三角函数以及反三角函数等多种类型。通过反复练习和应用，能够更好地理解和运用这些公式，为后续学习积分、微分方程等内容打下坚实基础。
