【四阶行列式的展开式是什么】在线性代数中，行列式是一个重要的概念，常用于判断矩阵是否可逆、计算特征值等。对于二阶和三阶行列式，有较为简单的展开公式，但到了四阶及以上，行列式的展开就变得复杂一些。本文将总结四阶行列式的展开式，并以表格形式直观展示其结构。

一、四阶行列式的定义

设一个四阶方阵 $ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix} $，则其行列式记为 $ A $ 或 $ \det(A) $，其展开式可以通过余子式展开法进行计算。

二、四阶行列式的展开方式

四阶行列式的展开可以按行或列进行，通常选择一行或一列进行展开，一般选择元素较多为0的行或列以简化计算。展开时使用的是余子式（Cofactor）。

设我们按第一行展开，则四阶行列式的展开式为：

$$

\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14}

$$

其中，$ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $，$ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的三阶行列式，称为 余子式。

三、四阶行列式展开式的结构总结

为了更清晰地展示四阶行列式的展开方式，以下表格总结了按第一行展开时的各项

四、三阶余子式的计算示例

以 $ M_{11} $ 为例，它是由原矩阵去掉第一行第一列后得到的三阶矩阵的行列式：

$$

M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}

$$

三阶行列式的计算公式为：

$$

\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$

五、总结

四阶行列式的展开式是通过余子式展开法实现的，具体步骤如下：

1. 选择一行或一列作为展开对象；

2. 对每一元素，计算其对应的余子式；

3. 根据位置符号（$ (-1)^{i+j} $）调整符号；

4. 将各元素与对应的余子式相乘并求和。

由于四阶行列式的展开涉及多个三阶行列式的计算，因此实际计算时需格外注意符号和行列式的展开顺序，避免出错。

如需进一步了解如何用其他方法（如拉普拉斯展开、行变换等）计算四阶行列式，可继续查阅相关资料。