【函数求导公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式，有助于快速解决数学问题和实际应用中的变化率分析。本文将对常见函数的求导公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数
以下是常见的基本初等函数及其对应的导数公式：
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0且a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $（x>0） | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0且a≠1，x>0） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
对于由多个函数复合而成的函数，如 $ y = f(g(x)) $，其导数遵循链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
- 若 $ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- 若 $ y = (x^2 + 1)^5 $，则 $ y' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
三、导数的四则运算法则
若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 均可导，则有以下规则：
| 运算 | 导数公式 |
| 加法 | $ (u + v)' = u' + v' $ |
| 减法 | $ (u - v)' = u' - v' $ |
| 乘法 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 除法 | $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v \neq 0 $） |
四、高阶导数
导数的导数称为高阶导数。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
高阶导数在物理、工程等领域中用于描述加速度、曲率等。
五、总结
掌握常见的函数求导公式是学习微积分的基础。通过理解导数的定义、性质以及运算规则，可以更高效地解决各种数学问题。同时，熟练使用链式法则和四则运算法则，能够应对更为复杂的函数求导任务。
建议在学习过程中多做练习题，加深对导数概念的理解和公式的灵活运用。
