【完整三角函数公式表】在数学中，三角函数是研究三角形以及周期性现象的重要工具。它们广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个领域。为了方便学习和查阅，以下是对常见三角函数公式的总结，包括基本定义、恒等式、诱导公式、加减角公式、倍角公式、半角公式等。
一、基本定义
| 函数名称 | 定义式 | 常见角度（单位：弧度） |
| 正弦函数 | $\sin\theta = \frac{y}{r}$ | $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ |
| 余弦函数 | $\cos\theta = \frac{x}{r}$ | $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ |
| 正切函数 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$ |
| 余切函数 | $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$ | $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$ |
| 正割函数 | $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ | $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$ |
| 余割函数 | $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ | $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$ |
二、基本恒等式
| 公式 | 表达式 |
| 平方关系 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ |
| 商数关系 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ |
| 倒数关系 | $\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta}$, $\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta}$, $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$ |
三、诱导公式（角度与象限关系）
| 角度变换 | 公式 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos\theta$ |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin\theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(2\pi - \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(2\pi - \theta)$ | $\cos\theta$ |
四、加法与减法公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin(A \pm B)$ | $\sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| $\cos(A \pm B)$ | $\cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| $\tan(A \pm B)$ | $\frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
五、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin 2A$ | $2\sin A \cos A$ |
| $\cos 2A$ | $\cos^2 A - \sin^2 A$ 或 $2\cos^2 A - 1$ 或 $1 - 2\sin^2 A$ |
| $\tan 2A$ | $\frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$ |
六、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin \frac{A}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$ |
| $\cos \frac{A}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$ |
| $\tan \frac{A}{2}$ | $\frac{\sin A}{1 + \cos A}$ 或 $\frac{1 - \cos A}{\sin A}$ |
七、和差化积公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin A + \sin B$ | $2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\sin A - \sin B$ | $2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\cos A + \cos B$ | $2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\cos A - \cos B$ | $-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
八、积化和差公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin A \cos B$ | $\frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ |
| $\cos A \sin B$ | $\frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$ |
| $\cos A \cos B$ | $\frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ |
| $\sin A \sin B$ | $-\frac{1}{2}[\cos(A+B) - \cos(A-B)]$ |
通过以上公式，可以系统地掌握三角函数的基本运算规则和应用方法。这些公式不仅是解题的基础，也是进一步学习高等数学、物理和工程学的重要工具。建议在实际应用中结合图形理解和数值计算，以加深对三角函数的理解。
