【tan75度等于多少根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度值，常用于数学计算和几何问题中。虽然75°不是标准角，但它可以通过特殊角度的和差公式进行推导，从而得到其精确的表达式。本文将总结tan75°的值，并以表格形式展示相关角度的正切值。
一、tan75°的计算方法
我们知道：
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
$$
我们可以将75°拆分为45° + 30°，因此：
$$
\tan75^\circ = \tan(45^\circ + 30^\circ)
$$
已知：
- $\tan45^\circ = 1$
- $\tan30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
代入公式得：
$$
\tan75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
为了去除分母中的根号，我们可以对分子和分母同时乘以$\sqrt{3} + 1$：
$$
\tan75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$
所以，
$$
\tan75^\circ = 2 + \sqrt{3}
$$
二、tan75°的数值近似值
使用计算器可以得到：
$$
\tan75^\circ \approx 3.732
$$
而 $2 + \sqrt{3}$ 的近似值为：
$$
2 + 1.732 = 3.732
$$
两者一致，验证了计算的正确性。
三、相关角度的正切值对比（表格）
| 角度（°） | 正切值（tanθ） | 表达式形式 |
| 30 | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45 | 1 | 1 |
| 60 | $\sqrt{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| 75 | $2 + \sqrt{3}$ | $2 + \sqrt{3}$ |
四、总结
通过角度加法公式，我们得出：
$$
\tan75^\circ = 2 + \sqrt{3}
$$
这是一个精确的表达式，适用于需要准确值的数学问题。在实际应用中，也可以用近似值3.732进行计算。了解这些角度的正切值有助于提高解题效率和准确性。
如需进一步探讨其他非标准角的三角函数值，欢迎继续提问。
