【等比数列的概念及其通项公式】等比数列是数列中一种重要的类型，它在数学、物理、经济等多个领域都有广泛应用。理解等比数列的基本概念和通项公式，有助于我们更好地分析和解决实际问题。
一、等比数列的基本概念
定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数称为公比，通常用字母 $ q $ 表示。
关键点：
- 第一项为 $ a_1 $，也称为首项；
- 公比为 $ q $，且 $ q \neq 0 $；
- 若 $ q = 1 $，则所有项都相等，称为常数列；
- 若 $ q > 1 $，数列递增；若 $ 0 < q < 1 $，数列递减；若 $ q < 0 $，数列为摆动数列。
二、等比数列的通项公式
通项公式：
等比数列的第 $ n $ 项可以表示为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ q $ 是公比；
- $ n $ 是项数（$ n \in \mathbb{N}^ $）。
说明：
该公式可用于求出任意一项的值，也可以用于判断某数是否属于某个等比数列。
三、等比数列的性质总结
| 性质 | 内容 |
| 1. 定义 | 从第二项起，每一项与前一项的比为定值（公比） |
| 2. 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 3. 公比限制 | $ q \neq 0 $，否则无法构成等比数列 |
| 4. 常数列 | 当 $ q = 1 $ 时，所有项相等 |
| 5. 正负号变化 | 当 $ q < 0 $ 时，数列项符号交替变化 |
| 6. 递增/递减 | $ q > 1 $ 时递增；$ 0 < q < 1 $ 时递减 |
四、举例说明
例1：
已知等比数列首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求第5项。
解：
$$
a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
$$
例2：
已知等比数列前三项为 $ 3, 6, 12 $，求其公比和第6项。
解：
公比 $ q = \frac{6}{3} = 2 $，
第6项：
$$
a_6 = 3 \cdot 2^{6-1} = 3 \cdot 32 = 96
$$
五、小结
等比数列是一种具有固定比例关系的数列，其核心在于公比 $ q $ 的作用。通过掌握通项公式，我们可以快速计算数列中的任意一项，从而应用于实际问题中。理解等比数列的性质，有助于我们在学习和研究中更灵活地运用这一数学工具。
