【平面向量公式都有哪些】在数学中，平面向量是研究几何与代数关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。掌握平面向量的基本公式，有助于理解向量的运算规则和实际应用。以下是对平面向量常用公式的总结。
一、基本概念
| 名称 | 定义 | ||||||
| 向量 | 有大小和方向的量，通常用箭头表示，如 $\vec{a}$ 或 $\mathbf{a}$ | ||||||
| 向量的模 | 向量的长度，记作 $ | \vec{a} | $ 或 $ | \vec{a} | $ | ||
| 零向量 | 模为0的向量，方向任意，记作 $\vec{0}$ | ||||||
| 单位向量 | 模为1的向量，方向与原向量相同 |
二、向量的加减法
| 公式 | 说明 |
| $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ | 向量加法，遵循平行四边形法则或三角形法则 |
| $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ | 向量减法，等于加上相反向量 |
| $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ | 零向量对加法的单位作用 |
三、向量的数乘
| 公式 | 说明 |
| $k\vec{a}$ | 数乘向量，$k$ 为实数，结果方向由 $k$ 的正负决定 |
| $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ | 数乘分配律 |
| $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$ | 数乘结合律 |
四、向量的点积（数量积）
| 公式 | 说明 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | 点积定义，$\theta$ 为两向量夹角 | |
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ | 向量坐标形式的点积 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} | ^2$ | 向量与其自身的点积等于模长平方 | ||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 当且仅当 $\vec{a} \perp \vec{b}$ | 垂直向量点积为零 |
五、向量的叉积（向量积）
| 公式 | 说明 | ||||
| $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n}$ | 叉积定义，$\hat{n}$ 为垂直于两向量的单位向量 | |
| $\vec{a} \times \vec{b} = (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{k}$ | 平面向量叉积（仅在二维中简化） | ||||
| $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ | 同一向量叉积为零向量 | ||||
| $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | 叉积反交换性 |
六、向量的投影
| 公式 | 说明 | ||||
| $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影 | ||
| $ | \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} | = | \vec{a} | \cos\theta$ | 投影长度公式 |
七、向量的坐标表示
| 公式 | 说明 |
| $\vec{a} = (a_1, a_2)$ | 向量在平面直角坐标系中的表示 |
| $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$ | 向量加法的坐标形式 |
| $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$ | 向量减法的坐标形式 |
| $k\vec{a} = (ka_1, ka_2)$ | 数乘向量的坐标形式 |
八、向量的模与单位向量
| 公式 | 说明 | ||
| $ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ | 向量模的计算公式 |
| $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ | 单位向量的求法（当 $\vec{a} \neq \vec{0}$） |
通过以上公式，我们可以系统地处理平面向量的各种运算与应用问题。无论是解析几何还是物理中的力分析，这些公式都是不可或缺的基础工具。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和应用能力。
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