【三角形重心定理推导】在几何学中，三角形的重心是一个重要的概念，它是指三角形三条中线的交点。根据三角形重心定理，重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的一段是靠近边的一段的两倍长。本文将对这一定理进行简要总结，并通过表格形式展示关键内容。
一、三角形重心定理概述
定义：
三角形的重心是三条中线的交点，且该点到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1。
定理
设△ABC为任意三角形，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，则中线AD、BE、CF交于一点G，称为重心。此时有：
- AG : GD = 2 : 1
- BG : GE = 2 : 1
- CG : GF = 2 : 1
二、定理推导思路（简要）
1. 设定坐标系：
可以将三角形放在坐标平面上，设定三个顶点A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)、C(x₃, y₃)，然后求出各边的中点坐标。
2. 求中线方程：
根据中点坐标和顶点坐标，写出中线的直线方程。
3. 求交点：
解两条中线的方程，得到它们的交点坐标，即为重心G的坐标。
4. 验证比例关系：
计算从顶点到重心的距离与从重心到对边中点的距离之比，验证是否为2:1。
三、关键公式总结
| 内容 | 公式 |
| 重心坐标公式（坐标法） | G = $\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ |
| 中线分段比例 | AG : GD = 2 : 1，BG : GE = 2 : 1，CG : GF = 2 : 1 |
| 向量表示 | $\vec{G} = \dfrac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$ |
四、应用举例
假设三角形顶点为A(0, 0)、B(6, 0)、C(3, 9)，则：
- 中点D（BC中点）= $\left(\dfrac{6+3}{2}, \dfrac{0+9}{2}\right) = (4.5, 4.5)$
- 中点E（AC中点）= $\left(\dfrac{0+3}{2}, \dfrac{0+9}{2}\right) = (1.5, 4.5)$
- 中点F（AB中点）= $\left(\dfrac{0+6}{2}, \dfrac{0+0}{2}\right) = (3, 0)$
计算重心G的坐标：
$$
G = \left(\dfrac{0 + 6 + 3}{3}, \dfrac{0 + 0 + 9}{3}\right) = (3, 3)
$$
验证AG : GD：
- AG = 距离A(0,0)到G(3,3) = √(3² + 3²) = √18
- GD = 距离G(3,3)到D(4.5,4.5) = √[(1.5)² + (1.5)²] = √4.5
比例约为√18 : √4.5 ≈ 2 : 1
五、结论
三角形重心定理是几何中一个基础而重要的性质，它不仅揭示了三角形内部结构的对称性，也在物理力学、工程设计等领域有广泛应用。通过坐标法或向量法，可以直观地推导并验证这一定理。
关键词： 三角形重心、中线、比例、坐标法、几何定理
