【平面向量基本定理和公式】在数学中，向量是一个非常重要的概念，尤其在几何、物理以及工程等领域有着广泛的应用。平面向量基本定理是向量理论中的核心内容之一，它为理解向量的分解与合成提供了理论依据。本文将对平面向量的基本定理及其相关公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、平面向量基本定理
定理
如果 e₁ 和 e₂ 是同一平面内两个不共线的向量（即它们不平行），那么对于该平面内的任意一个向量 a，都存在唯一的一对实数 λ₁ 和 λ₂，使得：
$$
\mathbf{a} = \lambda_1 \mathbf{e}_1 + \lambda_2 \mathbf{e}_2
$$
其中，e₁ 和 e₂ 称为这一平面的一组基底，而 λ₁ 和 λ₂ 称为向量 a 在这组基底下的坐标。
说明：
- 向量可以表示为基底的线性组合；
- 基底的选择决定了向量的表示方式；
- 如果基底是正交的（如标准坐标系中的单位向量），则计算更为简便。
二、常用公式与性质
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||||
| 向量加法 | $\mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)$ | 向量相加对应分量相加 | ||||
| 向量减法 | $\mathbf{a} - \mathbf{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y)$ | 向量相减对应分量相减 | ||||
| 数乘向量 | $k\mathbf{a} = (ka_x, ka_y)$ | 向量与标量相乘，方向不变，大小变化 | ||||
| 向量模长 | $ | \mathbf{a} | = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ | 向量的长度或大小 | ||
| 向量点积 | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y$ | 又称数量积，结果为标量 | ||||
| 点积性质 | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \cos\theta$ | 其中 θ 为两向量夹角 | |
| 向量夹角 | $\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{ | \mathbf{a} | \mathbf{b} | }$ | 用于求解向量之间的角度 | |
| 向量投影 | $\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{ | \mathbf{b} | ^2} \mathbf{b}$ | 表示向量 a 在 b 方向上的投影 |
三、应用举例
假设我们有向量 $\mathbf{a} = (3, 4)$，基底为 $\mathbf{e}_1 = (1, 0)$ 和 $\mathbf{e}_2 = (0, 1)$，则根据平面向量基本定理，可得：
$$
\mathbf{a} = 3\mathbf{e}_1 + 4\mathbf{e}_2
$$
这说明向量 $\mathbf{a}$ 可以用这两个基底的线性组合来表示，且系数分别为 3 和 4。
四、总结
平面向量基本定理揭示了向量空间中“任何向量都可以由一组基底线性表示”的本质。它是向量运算、几何分析和物理建模的基础。掌握这些基本定理和公式，有助于更深入地理解向量的结构和性质，也为后续学习三维向量、矩阵变换等内容打下坚实基础。
通过上述表格，我们可以清晰地看到平面向量的相关公式及其应用场景，便于记忆和使用。
