【一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积都相等】在几何学习中，圆柱与圆锥的关系是一个常见的知识点。当题目提到“一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积都相等”时，实际上是在考察两者之间的体积关系以及它们的高之间的联系。
根据几何公式：
- 圆柱的体积公式为：$ V_{\text{圆柱}} = S_{\text{底}} \times h_{\text{圆柱}} $
- 圆锥的体积公式为：$ V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} S_{\text{底}} \times h_{\text{圆锥}} $
题目中给出的条件是：体积相等，且底面积相等。因此可以得出以下结论：
设圆柱与圆锥的底面积均为 $ S $，体积均为 $ V $，则有：
$$
V = S \times h_{\text{圆柱}} \quad \text{（圆柱）}
$$
$$
V = \frac{1}{3} S \times h_{\text{圆锥}} \quad \text{（圆锥）}
$$
将两个式子联立，可得：
$$
S \times h_{\text{圆柱}} = \frac{1}{3} S \times h_{\text{圆锥}}
$$
两边同时除以 $ S $（假设 $ S \neq 0 $），得到：
$$
h_{\text{圆柱}} = \frac{1}{3} h_{\text{圆锥}}
$$
也就是说，当圆柱与圆锥的底面积和体积都相等时，圆柱的高是圆锥高的三分之一。
总结表格：
| 项目 | 圆柱 | 圆锥 |
| 底面积 | 相等 | 相等 |
| 体积 | 相等 | 相等 |
| 高 | $ h_{\text{圆柱}} $ | $ h_{\text{圆锥}} $ |
| 关系 | $ h_{\text{圆柱}} = \frac{1}{3} h_{\text{圆锥}} $ | $ h_{\text{圆锥}} = 3 h_{\text{圆柱}} $ |
通过这个总结可以看出，尽管圆柱和圆锥在形状上有所不同，但在特定条件下（底面积和体积相等），它们的高之间存在明确的比例关系。这种关系不仅有助于理解几何体之间的联系，也常用于实际问题的分析与计算。
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