【全微分方程解法原理】在微分方程的求解过程中，全微分方程是一种特殊的类型，其形式为：
$$
M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0
$$
若该方程满足一定的条件，则存在一个函数 $ u(x, y) $，使得：
$$
du = M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy
$$
此时，方程可简化为 $ du = 0 $，从而得到通解 $ u(x, y) = C $。
全微分方程的判断与解法步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 判断是否为全微分方程。若 $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $，则该方程为全微分方程。 |
| 2 | 若满足全微分条件，寻找一个函数 $ u(x, y) $，使得： $ \frac{\partial u}{\partial x} = M(x, y) $ $ \frac{\partial u}{\partial y} = N(x, y) $ |
| 3 | 对 $ M(x, y) $ 关于 $ x $ 积分，得到 $ u(x, y) $ 的表达式（含任意函数 $ f(y) $）。 |
| 4 | 对 $ N(x, y) $ 关于 $ y $ 积分，得到 $ u(x, y) $ 的表达式（含任意函数 $ g(x) $）。 |
| 5 | 比较两个积分结果，合并得到完整的 $ u(x, y) $ 表达式。 |
| 6 | 最终通解为 $ u(x, y) = C $，其中 $ C $ 为常数。 |
示例分析
考虑方程：
$$
(2x + y) \, dx + (x + 2y) \, dy = 0
$$
- $ M(x, y) = 2x + y $
- $ N(x, y) = x + 2y $
计算偏导数：
- $ \frac{\partial M}{\partial y} = 1 $
- $ \frac{\partial N}{\partial x} = 1 $
因此，该方程是全微分方程。
接下来，寻找 $ u(x, y) $：
1. 对 $ M(x, y) $ 关于 $ x $ 积分：
$$
u(x, y) = \int (2x + y) \, dx = x^2 + xy + f(y)
$$
2. 对 $ N(x, y) $ 关于 $ y $ 积分：
$$
u(x, y) = \int (x + 2y) \, dy = xy + y^2 + g(x)
$$
比较两个表达式，得：
$$
u(x, y) = x^2 + xy + y^2
$$
最终通解为：
$$
x^2 + xy + y^2 = C
$$
总结
全微分方程的解法核心在于判断是否满足全微分条件，并通过积分方法构造出原函数 $ u(x, y) $。该方法避免了复杂的积分因子引入，适用于特定类型的微分方程，具有简洁、高效的特点。掌握这一原理有助于理解更广泛的微分方程求解方法。
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