【排列组合基本公式及算法】在数学中，排列组合是研究从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的规律与方法。它们广泛应用于概率论、统计学、计算机科学等领域。本文将对排列组合的基本公式及常用算法进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、排列（Permutation）
排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列。排列强调顺序的不同。
1. 全排列公式
当从n个不同元素中取出全部n个元素进行排列时，其数量为：
$$
P(n, n) = n!
$$
2. 部分排列公式
当从n个不同元素中取出m个元素进行排列时，其数量为：
$$
P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}
$$
3. 重复排列
若允许元素重复使用，则排列数为：
$$
n^m
$$
二、组合（Combination）
组合是指从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序，只关注元素的集合。
1. 基本组合公式
从n个不同元素中取出m个元素的组合数为：
$$
C(n, m) = \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}
$$
2. 重复组合
若允许元素重复选择，则组合数为：
$$
C(n + m - 1, m)
$$
三、常见排列组合算法
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 全排列 | $ n! $ | 从n个不同元素中取全部进行排列 |
| 部分排列 | $ \frac{n!}{(n - m)!} $ | 从n个不同元素中取m个进行排列 |
| 重复排列 | $ n^m $ | 允许元素重复的排列方式 |
| 组合 | $ \frac{n!}{m!(n - m)!} $ | 从n个不同元素中取m个不考虑顺序 |
| 重复组合 | $ C(n + m - 1, m) $ | 允许元素重复的组合方式 |
四、应用举例
例1：全排列
从3个不同的字母A、B、C中取出全部进行排列，共有多少种？
$$
3! = 6 \quad (\text{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA})
$$
例2：部分排列
从5个数字1~5中取出3个进行排列，有多少种？
$$
P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60
$$
例3：组合
从4个颜色中选2个进行搭配，有多少种组合方式？
$$
C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6
$$
五、注意事项
- 排列与组合的主要区别在于是否考虑顺序。
- 在实际问题中，应根据题意判断是否需要考虑顺序。
- 当题目中出现“选出来后有顺序”时，用排列；“选出来后无顺序”时，用组合。
通过以上内容，我们可以系统地掌握排列组合的基本公式和常见算法，为后续学习概率、组合数学等提供坚实的基础。
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