【求期望和方差公式】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量分布特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的“平均值”，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。下面将对常见的离散型和连续型随机变量的期望和方差公式进行总结，并以表格形式呈现。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量取值的加权平均，权重为对应的概率。对于不同的随机变量类型，其计算方式有所不同。
1. 离散型随机变量
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则期望定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量
设 $ X $ 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望定义为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差是衡量随机变量与其期望之间偏离程度的指标，计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
1. 离散型随机变量
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
或等价地：
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - [E(X)]^2
$$
2. 连续型随机变量
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
或等价地：
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望与方差
以下是一些常见概率分布的期望和方差公式：
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Pois(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、小结
期望和方差是分析随机变量行为的重要工具，理解它们的计算方法有助于我们在实际问题中进行概率建模和数据分析。无论是离散还是连续型随机变量，其基本思想都是围绕“平均值”和“波动性”展开的。通过掌握这些公式，可以更有效地处理各种概率模型。
如需进一步了解特定分布的推导过程，可参考相关教材或资料进行深入学习。
以上就是【求期望和方差公式】相关内容，希望对您有所帮助。
