【求高等数学所有的求导公式】在高等数学中，导数是微积分的重要组成部分，广泛应用于函数分析、物理建模、工程计算等领域。掌握常见的求导公式是学习微积分的基础。本文将对高等数学中常用的求导公式进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
以下是一些常见函数的导数公式：
| 函数 | 导数 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = a^x $（a>0, a≠1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、反三角函数的导数
| 函数 | 导数 | ||
| $ y = \arcsin x $ | $ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ y = \arccos x $ | $ y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ y = \arctan x $ | $ y' = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ y = \text{arccot } x $ | $ y' = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ y = \text{arcsec } x $ | $ y' = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ y = \text{arccsc } x $ | $ y' = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
三、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- $ y = \sin(3x) $ 的导数为 $ y' = 3\cos(3x) $
- $ y = (x^2 + 1)^3 $ 的导数为 $ y' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $
四、隐函数的导数
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定的隐函数 $ y = y(x) $，可对两边同时对 $ x $ 求导，解出 $ y' $。
例如：
- 方程 $ x^2 + y^2 = 1 $，两边对 $ x $ 求导得：
$$
2x + 2y \cdot y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}
$$
五、高阶导数
高阶导数是对原函数多次求导的结果，例如：
- $ y = x^3 $，则
$ y' = 3x^2 $，
$ y'' = 6x $，
$ y''' = 6 $，
$ y^{(4)} = 0 $
六、参数方程的导数
设 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
$$
例如：
- 若 $ x = t^2 $，$ y = t^3 $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}
$$
七、对数求导法
对于幂指函数或复杂乘积函数，可以先取对数再求导。例如：
- $ y = x^x $，两边取对数得：
$$
\ln y = x \ln x \Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + 1 \Rightarrow y' = x^x (\ln x + 1)
$$
八、微分与导数的关系
微分 $ dy = f'(x) dx $，即导数是微分的比值。
总结
以上内容涵盖了高等数学中常见的求导公式，包括基本初等函数、反三角函数、复合函数、隐函数、高阶导数、参数方程以及对数求导法等。这些公式是解决实际问题和进一步学习微积分的基础工具。建议在学习过程中结合例题练习，加深理解和记忆。
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