【求点到面的距离】在三维几何中，求一个点到一个平面的距离是一个常见的问题。该距离是点与平面之间垂直线段的长度。计算这个距离需要了解点的坐标和所在平面的方程。以下是对这一问题的总结，并通过表格形式展示关键公式与步骤。

一、基本概念

- 点：用坐标表示为 $ P(x_0, y_0, z_0) $

- 平面：一般形式为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $，其中 $ A, B, C $ 是法向量的分量

- 点到平面的距离：从点 $ P $ 到平面的最短距离，即垂直距离

二、计算公式

点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离 $ d $ 公式如下：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

三、计算步骤

四、示例说明

假设点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 1 = 0 $

- $ A = 2 $, $ B = -3 $, $ C = 6 $, $ D = -1 $

- $ x_0 = 1 $, $ y_0 = 2 $, $ z_0 = 3 $

代入公式：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(3) - 1}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 1}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{13}{\sqrt{49}} = \frac{13}{7}

$$

因此，点到平面的距离为 $ \frac{13}{7} $。

五、注意事项

- 若平面方程不是标准形式（如 $ Ax + By + Cz = D $），需先整理成 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的形式。

- 法向量 $ (A, B, C) $ 必须与平面垂直。

- 若点在平面上，则距离为 0。

六、总结表格

通过以上方法，可以快速准确地计算出任意点到平面的距离。掌握这一方法对于工程、物理、计算机图形学等领域都有重要意义。

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